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記事No.16568に関するスレッドです
★ 角度の問題です。 / ポテチ
三角形 ABC の∠B、∠C の二等分線がそれぞれ AC, AB と交わる点を各々 D,Eとするとき∠ABC:∠BDE:∠CED=2:3:4であるという.∠Aは 何度か.

よろしくお願いします。
No.16561 - 2012/01/13(Fri) 10:35:41
☆ Re: 角度の問題です。 / らすかる
問題が正しければ、角度は定まらないと思います。
No.16562 - 2012/01/13(Fri) 20:37:16
☆ Re: 角度の問題です。 / ポテチ
そうなんですか？(>_<)

この問題、過去に数学オリンピックに出題されている問題なのですが…定まらないという答え方もありなんですかね？ヽ(´o｀；
No.16564 - 2012/01/14(Sat) 11:39:19
☆ Re: 角度の問題です。 / らすかる
ごめんなさい、私が条件を見落としていました。
ちゃんと定まります。
∠A=40°になると思いますが、理由はちょっと考えます。
No.16565 - 2012/01/14(Sat) 15:42:11
☆ Re: 角度の問題です。 / angel
∠A=40°で正解のようです。
これっていつの問題でしょう？ 年度等わかれば、図書館で問題集を探して解説を読むこともできると思いますよ。
ちなみに、形を整理してみると∠A=40°以外にきれいな数字が見つからないので、もし1次予選だったら検証せずに取り敢えず答だけ書きそうな所です。

さて。答のウラを取るには結構計算が必要 ( な方法しか思いつかなかった ) ですが、取っ掛かりは補助線と二等辺三角形ですかね。
Dを通りABに平行な直線を引くと、B,Dを含んだひし形を作ることができます。そこから更に2種類の二等辺三角形が見つかります。で角度や長さを整理し、最終的に正弦定理に持っていくことができます。
ちなみに、BDとCEの交点は内心になるのですが、今回その点は無視した方がすっきりしそうに思います。
No.16567 - 2012/01/14(Sat) 22:51:53
☆ Re: 角度の問題です。 / angel
図にしてみました。
図中、丸付数字で描いているのは、角度の大きさ(比率)です。
丸2だったら2θ、丸4だったら4θのように大きさを表してます。で、答えとしては丸1個分が10°になるわけで、それ以外にきれいな数値を思いつかないのです。

さてこの図は、問題文にある角度の比を満たすようにし、ひし形を中心にして描いたものです。二等辺三角形が2種類できているのが分かるでしょうか。
ひし形の1辺の長さを元に、これら二等辺三角形の辺の長さを表すことができ、更に△CRP∽△CEB (∵PDとBQは平行) からCRの長さも分かります。
最後に、CEが∠Cの二等分線であることから、△CDRにおける正弦定理から、三角比の方程式が立ちます。
項がたくさんあって面倒ですが、積和・和積を使ってまとめていくと、最終的に cos9θ=0 より θ=10°となるため、∠A=40°が答になります。
No.16568 - 2012/01/14(Sat) 23:47:57
☆ Re: 角度の問題です。 / ポテチ
ご親切な回答ありがとうございます。

ただ、まだ三角比とか習っていないので
できれば別解を探してみたいのですが…

他に解き方ありますかね＞＜
No.16569 - 2012/01/15(Sun) 01:07:37
☆ Re: 角度の問題です。 / Halt0
Google 検索したところ 1998年 第8回 日本数学オリンピック予選 の9問目のようですね.
気になったので手元の『数学オリンピック辞典』という本で解答を調べてみました. (基礎編 p.212) 以下は引用です(図は省略):

∠ABD=∠DBC=x とおくと,
∠BDE=3x, ∠CED=4x
である. また,
∠AED=∠ABD+∠BDE=4x
である. さらに
∠ACE=∠ECB=∠AEC-∠ABC=6x
となる. BC の延長線の C 側に点 P をとる. 三角形 BCE に注目し, 直線 BD は内角 ∠CBE の二等分線, ED は外角 ∠AEC の二等分線であるから, 点 D は 三角形 BCE の傍心である.
したがって, ∠DCE=∠DCP となり,
∠ECB=∠ACE=∠ACP=60°=6x
が導かれる. したがって x=10° となり, ∠A=40° である. □
No.16573 - 2012/01/15(Sun) 03:45:52
☆ Re: 角度の問題です。 / ポテチ
傍心だとは全く気付きませんでした！
傍心に気がつけばこんなにあっさり解けちゃうんですね＞＜

わざわざ調べてくださってありがとうございます
No.16575 - 2012/01/15(Sun) 08:45:45
☆ Re: 角度の問題です。 / angel
傍心か…! やられた。
No.16577 - 2012/01/15(Sun) 10:42:57