[ 掲示板に戻る ]
記事No.16664に関するスレッドです
★ A=kEか否か / カルビー
行列A＝(a b)
(b a)

が方程式A^3-3A+2E=0をみたすとき実数a,bの値を求めよという問題で

解答を作ったのですが
略解）
次数下げとケーリーはミルトンの定理で得た式を利用して（3a^2+b^2-3)A+{-2a(a^2-b^2)+2}E=0

ア】3a^2+b^2-3≠０・・?@のときA＝ｋEとおけるのでA^3-3A+3E=0の式に代入してｋ＝１、−２
ｋ＝１のときa=1,b=0となり?@に反するので不適
ｋ＝２のときa=-2,ｂ＝0(?@をみたす）

イ】3a^2+b^2-3＝０のとき-2a(a^2-b^2)+2＝０より
（a,b)=(1,0),(-1/2,±3/2)

ア】のa=-2,ｂ＝0とイ】の（a,b)=(1,0）、（-1/2,±３/2)が最終的な答え

と思ったのですが、解答には

A=kEのときa=-2,ｂ＝0と（a,b)=(1,0）
A≠ｋEのときの（a,b)=（-1/2,±３/2)

が
答えという最終的な答えはあってしまうのですが、場合訳の仕方が違うので途中過程が変わってしまったようです。気になりましたので、私の作った解答が合ってるかどうかみてもらえないでしょうか？

よろしくお願いします。
No.16642 - 2012/01/21(Sat) 11:03:25
☆ Re: A=kEか否か / X
計算過程に問題はないと思います。
No.16650 - 2012/01/21(Sat) 21:34:45
☆ Re: A=kEか否か / カルビー
ということはA=kEのとき（a、ｂ）=（-2,0）、（a,b)=(1,0）
A≠ｋEのとき（a,b)=（-1/2,±３/2)

という解答は誤植ということですか？
No.16655 - 2012/01/22(Sun) 09:26:34
☆ Re: A=kEか否か / angel
> …(略)…
> という解答は誤植ということですか？

いいえ。
場合わけのやり方が少し違うだけで、どちらも正答です。

今回場合わけには2通りの切り口があります。
それは、
　3a^2+b^2-3=0 かどうか
　A=kEと表せるかどうか
これらの観点でAを分類したのが添付の図です。

カルビーさんは、先に3a^2+b^2-3=0かどうかで場合わけしました。そうすると、ア】で図中(i)の部分を求め、イ】で(ii),(iii)を求めていることになります。
しかし、模範解答例はA=kEと表せるかどうかを先に考えています。つまり、A=kEと表せる場合は(i),(ii)、A=kEと表せない場合は(iii)です。
結果としてはもちろん同じ答えになるのですが、途中が少し違って見えるわけです。
No.16664 - 2012/01/22(Sun) 12:51:26
☆ Re: A=kEか否か / カルビー
凄まじくわかりやすい図をありがとうございます。感激しております。

今までケーリーハミルトンで次数下げした後のAとEで表される式（　●A＝■Eのような式）において、Aの係数≠０であることとA=ｋEは同値、Aの係数＝０とA≠kEは同値だと思いこんでいたのですが違うということですよね・・？Aの係数が０でA=kEとなる場合があるのですか・・？
わかりやすい説明をしてくれたのにしつこいですが、どうか教えてください。よろしくお願いします
No.16680 - 2012/01/22(Sun) 19:57:30
☆ Re: A=kEか否か / angel
> …(略)…は同値だと思いこんでいたのですが違うということですよね・・？

ええ、そうです。その思い込みは地味に危険でした。
つまり、“(Aの係数)=0”と“A=kEと表せる”は両立しえます。
今回の問題では A=E ( a=1,b=0,3a^2+b^2-3=0 ) がそうですね。( 前の図の(ii)にあたる )

ということで、成立するのは
　“(Aの係数)≠0”⇒“A=kEと表せる”
　“A=kEと表せない”⇒“(Aの係数)=0”
で、逆にありえないのは、
　“(Aの係数)≠0”かつ“A=kEと表せない”
です。
No.16683 - 2012/01/22(Sun) 21:49:45
☆ Re: A=kEか否か / カルビー
回答有難うございました！
とてもよく分かりました！
No.16726 - 2012/01/26(Thu) 10:13:05