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記事No.16731に関するスレッドです
★ 中点連結定理、線分比の範囲 / すないでる
向かい合う２辺が平行でない四角形ABCDに対して
Aを通りBCと平行な直線とCDの交点をB'
Bを通りCDと平行な直線とDAの交点をC'
Cを通りDAと平行な直線とABの交点をD'
Dを通りABと平行な直線とBCの交点をA'
とするときAA'、BB'、CC'、DD'は１点で交わることを証明せよ

この問題に１晩を費やしてしまいました…(笑)
どなたかよろしくお願いします。
No.16701 - 2012/01/24(Tue) 09:15:44
☆ Re: 中点連結定理、線分比の範囲 / angel
まず、A'〜D'の決め方が非常に綺麗に循環していることに着目します。つまり、一部分だけ証明すれば“同様に〜”が使える形。
なので、これだけ示せれば十分です。
　AA'とBB'の交点とBB'とCC'の交点は一致する
その後は、同様にBB'とCC'の交点とCC'とDD'の交点は一致すると言えるため、これら交点が全て一致と相成ります。

で、AA'とBB'の交点、BB'とCC'の交点ですが…
これらはともにBB'上にあることは共通で、そうするとBB'上のどこの位置にあるか、調べることになります。
で、至る所「平行」が転がっているこの状況だと、結局交点というのがBB'を何対何に内分する点か、現れる相似形の相似比を見ればすむことに気づきます。
二組の相似比はそれぞれBA':B'A、BC':B'Cですから、これらの一致を示せば、それがすなわち「交点の一致」を意味します。

これでゴールが BA':B'A=BC':B'C ( ⇔BA'・B'C=B'A・BC' ) と明確になりました。
後は…
添付の図のように、メネラウスの定理で出てくるような形を考えて、適当に長さの比を文字で置いてあげれば、いろいろな長さの比が判明しますから、ごり押しでも計算できそうだとわかります。
No.16731 - 2012/01/26(Thu) 23:48:44
☆ Re: 中点連結定理、線分比の範囲 / angel
とは言え、ごり押しするのはちょっと面倒なので、上手いこと線分の長さの比を使えないか考えます。

で、色々「平行」があって、三角形の相似が生じているこの状況だと、

　BA'=BC・PD/PC　(△CA'D∽△CBP)
　B'C=PC・AB/PB　(△PAB'∽△PBC)
　B'A=BC・PA/PB　(△PAB'∽△PBC)
　BC'=PD・AB/PA　(△ABC'∽△APD)

と表せることが分かります。これでBA'・B'CとB'A・BC'を計算して一致を確かめれば良し、と。

なお、BC'=CD・QB/QC のように別の表現もできたりしますが、QとPを混在させた形にするとうまくまとまりません。

後余談としては、上の絵だとPが□ABCDから見て上、Qが右になっていますが、Pが上下、Qが左右どちらに来るかは実は決まっていません。都合4通りの場合わけになるのですが、それでも式の形はまったく一緒になります。
解答を書く上で、この話に触れる必要はないと思いますが、一応自分で確認しておいた方が良いでしょう。
No.16732 - 2012/01/26(Thu) 23:59:53