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記事No.16734に関するスレッドです
★ 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / ピジョン
g(x)がf(x)の逆関数の時に2曲線ｙ＝ｆ（ｘ）、ｙ＝ｇ（ｘ）の交点は直線ｙ＝ｘ上にある」とする人がいます。ｆ（ｘ）が増加関数の時は正しいですが、減少関数の時は間違いです

とあったのですがｆ（ｘ）が減少関数だとｇ（ｘ）が増加関数でも減少関数でも間違いということなんでしょうか？

そもそも『ｆ（ｘ）が増加関数の時は正しいですが、減少関数の時は間違い』というのがいまいち納得できないのでどなたか説明お願いできないでしょうか？

よろしくお願いします
No.16727 - 2012/01/26(Thu) 20:17:04
☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / ヨッシー
何に載っていた言葉でしょうか？

その前後に、図などの解説はないのでしょうか？
もしくは、この解説の元となった問題はなんですか？

何を以て、「間違いです」と言っているかよく分かりません。
No.16729 - 2012/01/26(Thu) 22:00:21
☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / ピジョン
問題は、2つの関数をf(x)=√(x+1)(x≧-1)、g(x)=x^2-1(x≧0）とし、ｙ＝ｆ（ｘ）とｙ＝ｇ（ｘ）で表せる曲線を其々C1、C2とする。（１）ｆ（ｘ）の逆関数がｇ（ｘ）であることをしませ
（２）曲線C１と曲線C2の交点Pの座標を求めよ。

の（２）の解説です（２）でいきなり「交点はy＝x上にあると」と始めないほうが良い、ともあります。
No.16730 - 2012/01/26(Thu) 22:41:11
☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / angel
「間違い」というのは正しいです。
例えば、y=1/x の逆関数は y=1/x で自身と同じになりますので、これらの共有点は、y=1/x 上の点全てとなります。y=x上以外にもあることになります。

まあ、これは極端な例ですが、つまりどういうことかというと、もともとの y=f(x) のグラフが、y=x に対称な2点を含んでいるとこういうことが起こるのです。
例えば、y=f(x) が (1,2) と (2,1) 両方を含む場合、y=f(x)とy=f^(-1)(x)は、(1,2),(2,1)を共有点として持ちますね。

でもって、上のようなケースだと、(1,2)→(2,1)で必ず減少しますから、だから「減少関数の時は…」という話にふれているのでしょう。
No.16733 - 2012/01/27(Fri) 00:46:31
☆ 例 / angel
一例として、y=4(x^2+4)/(5x^2) と、y=4/√(5x-4) を挙げます。
y=x 上の点 ( 3次方程式の解で、座標は無理数 ) 以外に、(1,4),(4,1) にも交点があります。
No.16734 - 2012/01/27(Fri) 01:07:41
☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / らすかる
> ※ちゃんと逆関数になっています
なっていませんね。計算ミスがあるようです。

> 3次方程式の解で、綺麗に値は求まらない
求めたら、 x=(2/15){(683+15√2073)^(1/3)+(683-15√2073)^(1/3)+2} となりました。
No.16736 - 2012/01/27(Fri) 02:23:39
☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / ピジョン
つまり、逆関数にする前の関数、または逆関数にした後の関数どちらか一方でも減少関数ならばｙ＝ｘ以外に交点を持つことがある、ということでよいのでしょうか？
No.16737 - 2012/01/27(Fri) 09:52:21
☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / らすかる
「どちらか一方だけが減少関数」ということはあり得ないと思いますが、「減少関数ならばy=x以外に交点を持つ可能性がある」は正しいです。
No.16738 - 2012/01/27(Fri) 10:20:55
☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / angel
らすかるさん、ご指摘ありがとうございます。
係数を逆にしていました。No.16734を訂正しました。
※4(x^2+4)/(5x^2)とすべきを4(4x^2+1)/(5x^2)としていました
No.16740 - 2012/01/27(Fri) 22:35:23