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記事No.16823に関するスレッドです
★ １０’10月P62 / ８４
A=((a b)(c d))
としAの固有方程式の解は相異なる二つの0でない実数解α、βを持つと仮定する。

α、βに対して其々の方向の異なる（一次独立な）2つのベクトル、ベクトルｑ、ベクトルｒが存在し、
Aベクトルｑ＝αベクトルｑ
Aベクトルｒ＝βベクトルｒ
を満たす事を示せ

解答をそのまんま写しますと

αE−A＝(（α-a -b)(-c α-d))とし二つの行ベクトル（第１，２行）をベクトルa1,ベクトルa2とするとベクトルa1,ベクトルa2は同時に０ベクトルとなることはなく
lxE-Al=0よりベクトルa1,ベクトルa2（この内の少なくとも一方は0ベクトルではない）
そこでベクトルa1（またはベクトルa2）に垂直な方向のベクトルの1つをベクトルｑとすれば
（αE-A)ベクトルｑ＝０ベクトル
となる。すなわちAベクトルｑ＝αベクトルｑとなるベクトルｑ（≠０ベクトル）が存在する。以下略

ですが冒頭辺りのベクトルa1,ベクトルa2の成分が解答の書き方では分からないので、どなたか解答の他の部分から逆算して教えてください

よろしくお願いします
No.16816 - 2012/02/03(Fri) 02:51:36
☆ Re: １０’10月P62 / angel
解答にあるような αE-A の成分で考えると書くのが面倒なので、ちょっと問題を分解してシンプルにしましょう。

一つ目は
・行列X (X≠O) に対し、det(X)=0 の時、Xu=o (u≠o) となるベクトル u が存在する
です。この証明は添付の図をご覧ください。
※念のためですが、det(X) は X の行列式を表します
※元の話のベクトルa1,a2がどうこうの話はここに該当します

これが示されれば、det(αE-A)=det(βE-A)=0 であることから、(αE-A)q=o, (βE-A)r=o となる q,r の存在が示せます。
※2個の異なる固有値を持つことから、αE-A≠O, βE-A≠O です。さもなくば、固有方程式が重解を持つことになりますから。

で、(αE-A)q=o ⇔ αEq-Aq=o ⇔ αq-Aq=o ⇔ Aq=αq
ということで、問題にある形になります。( r,βの組み合わせについても同様 )

で、二つ目は
・Aq=αq, Ar=βr ( q,r≠o, α≠β ) に関して、q,rは一次独立
です。
こっちは簡単です。
もし一次独立でない ( 一次従属 ) とすると、q=γr なる実数γ(γ≠0)が存在するため、
　Xq=X(γr)=γXr=γβr
一方
　Xq=αq=αγr
両者を比較し γβr=αγr
r≠o のため γβ=αγ、これは α≠β かつ γ≠0 に矛盾するという寸法で。
No.16823 - 2012/02/04(Sat) 11:30:35
☆ Re: １０’10月P62 / ８４
回答ありがとうございます

結果・・a1とa2の成分はどうなるのでしょうか？

また※2個の異なる固有値を持つことから、αE-A≠O, βE-A≠O です。さもなくば、固有方程式が重解を持つことになる、というのがよくわかりません

よろしくおねがいします
No.16826 - 2012/02/04(Sat) 19:55:03
☆ Re: １０’10月P62 / angel
> 結果・・a1とa2の成分はどうなるのでしょうか？

上の図の証明の中で a1, a2 にあたるのは (a,b), (c,d) です。(a,b)と(b,-a)、(c,d)と(d,-c) は内積を計算すればすぐに垂直であることが分かると思います。

> また※2個の異なる固有値を持つことから、αE-A≠O, βE-A≠O です。さもなくば、固有方程式が重解を持つことになる、というのがよくわかりません

　さもなくば
　… A=αE または A=βE ならば
　固有方程式が重解を持つことになる
　… 実際に固有方程式を計算して確かめてください

例えば A=αE ならば、det(xE-A)=det((x-α)E)=(x-α)^2 ですから、固有方程式は (x-α)^2=0 で重解を持ちますよね。
No.16828 - 2012/02/04(Sat) 21:48:49