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記事No.16840に関するスレッドです
★ 固有値 / アディスアベバ
2次正方行列A,Bについて、逆行列を持つ適当な二次正方行列Pが存在しP^-1AP=Bを満たすならば、AとBの固有方程式は一致する事を示せ。
解）略

コメント）『A,Bが実数の固有値を持つ場合、それは固有方程式の解』《ですから、当然一致する事になりますね。》

『』部は分かるのですが《　》部が分かりません。私にとっては当然でないのでどこが当然なのか教えてください
No.16825 - 2012/02/04(Sat) 19:21:54
☆ Re: 固有値 / angel
2通りの切り口があります。

・固有ベクトルに着目
　Aが固有値λと、それに対応する固有ベクトルvを持つ、
　つまり Av=λv (v≠o) だとすると、
　ベクトル u=P^(-1)v (この時u≠o) に対して
　　Bu=P^(-1)AP・P^(-1)v
　　　=P^(-1)Av
　　　=P^(-1)・λv
　　　=λP^(-1)v = λu
　なので、自動的にBも固有値λと、対応する固有ベクトルuを持つことが分かります。
　で、これはAの全ての固有値で同様のお話になりますから、A,Bの持つ固有値は全て同じ、ということで固有方程式も一致することになります。

・行列式の性質に着目
　B=P^(-1)AP であることから、λE-B=P^(-1)( λE-A )P が成立します。
　※計算して確かめてください
　で、行列式の性質
　　det(XY)=det(X)det(Y)
　　det(X^(-1))=1/det(X) ( 1=det(E)=det(XX^(-1))=det(X)det(X^(-1)) より )
　から、
　　det(λE-B)=det(P^(-1))det(λE-A)det(P)=det(λE-A)
　ということで、Aの固有方程式 det(λE-A)=0 も、Bの固有方程式 det(λE-B)=0 も同じ形になるわけです。
No.16830 - 2012/02/04(Sat) 22:11:35
☆ Re: 固有値 / アディスアベバ
回答有難うございます。

その2つの切り口ってそれってもうこの問題を解いちゃってますよね。そうじゃなくて何らかの事実から解かなくても（証明しなくても）（証明すべきことは）明らかだ、という文脈かと思っていたので、その事実とは何なのかと知りたい、と思ったのですが・・。
No.16834 - 2012/02/05(Sun) 01:10:33
☆ Re: 固有値 / angel
> その2つの切り口ってそれってもうこの問題を解いちゃってますよね。そうじゃなくて…(略)…

いや、そりゃ、ちゃんと計算過程を書かないと、説明にならないでしょうが。

アディスアベバさんの求める「事実」というのは、行列の固有値・固有ベクトルに関する性質そのものです。「明らか」と思えないのであれば、固有値・固有ベクトルの持つ意味をもうちょっと見つめ直すしかないです。
No.16836 - 2012/02/05(Sun) 10:41:14
☆ 対角化の話 / angel
あー、ひょっとしたらこの話の方が分かりやすいかもしれません。話としては「固有ベクトルに着目」と同じようなものですけど。添付の図をご覧ください。
※なお、図の文章中「同じ形に対角化」といっているのは、λ1,λ2を含んでいる行列 ( 対角成分以外が全て0なので、対角行列 ) が同じであることを言っています。
No.16840 - 2012/02/05(Sun) 23:50:39