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記事No.16892に関するスレッドです
★ (No Subject) / ぽてち
図において?僊BCの∠Aの２等分線とBCの交点をDとし、Dから辺AC,ABにそれぞれ垂線DH、DKを下ろす。Dを通りBCに垂直な直線とHKとの交点をPとするとき、AB:AC=HP:PKを証明せよ。

どうかお願いします(><)
No.16884 - 2012/02/09(Thu) 20:56:18
☆ Re: / ヨッシー
ＡＢ＝ＡＣの時は、明らかです。

ＡＢ＜ＡＣ のとき
四角形ＡＫＤＨは円に内接します。その円と、ＤＰの交点をＥ
とします。
また、ＤＰとＡＣの交点をＦとします。
円周角より
　∠ＢＡＤ＝∠ＫＥＤ
　∠ＣＡＤ＝∠ＨＥＤ
∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ　より
　∠ＫＥＤ＝∠ＨＥＤ
となり、ＤＥ は、∠ＫＥＨの二等分線になります。

一方、△ＤＦＣと△ＨＤＣは相似であることと、円周角より、
図で●を付けた角は等しく、
△ＡＢＣと△ＥＨＫは相似となり、
　ＡＢ：ＡＣ＝ＨＥ：ＫＥ
また、角の二等分線の定理より
　ＨＥ：ＫＥ＝ＨＰ：ＰＫ
以上より、
　ＡＢ：ＡＣ＝ＨＰ：ＰＫ
となります。

ＡＢ＞ＡＣ のときも、同様にして示すことが出来ます。
No.16892 - 2012/02/09(Thu) 22:26:08