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記事No.16913に関するスレッドです
★ 高２ / 山口
問題
　正四面体OABCにおいて、辺OAを1:2に内分する点をD、辺OCの中点をE、辺BCを3:1に内分する点をFとし、辺AB上に点Gをとると、線分DF、EGは点Hで交わる。vec{OA}=vec{a}、vec{OB}={b}、vec{OC}=vec{c}とおくとき、次の問いに答えなさい。

(1) vec{ED}、vec{EF}をそれぞれvec{a}、vec{b}、vec{c}で表せ。
(2) AG:GEを求めよ。
(3) 直線OHと平面ABCの交点をIとし、四面体OIAB、OIBC、OICAの体積をそれぞれV1、V2、V3とおくとき、V1:V2:V3を求めよ。

(1)は
vec{ED}=1/3vec{a}-1/2vec{c}
vec{EF}=1/4vec{b}+1/4vec{c}

(2)からわかりません＾＾；
No.16910 - 2012/02/12(Sun) 01:04:05
☆ Re: 高２ / ヨッシー
基本事項
　直線ＡＢ上の任意の点をＧとすると
　　ＯＧ＝sａ＋tｂ　(s+t=1)
　　　または
　　ＯＧ＝(i-t)ａ＋tｂ
　△ＡＢＣと同一平面上の任意の点をＫとすると
　　ＯＫ＝sａ＋tｂ＋uｃ　(s+t+u=1)
　と書けます。

(2) は ＡＧ：ＧＢ　ですよね？
(2)解法１
　ＡＧ：ＧＢ＝ｓ：（１−ｓ）
　ＤＨ：ＨＦ＝ｔ：（１−ｔ）
　ＥＨ：ＨＧ＝ｕ：（１−ｕ）
とします。これらより、
　ＯＧ＝(1-s)ａ＋sｂ　・・・(1)
　ＯＨ＝(1-t)ＯＤ＋tＯＦ　・・・(2)
　ＯＨ＝(1-u)ＯＥ＋uＯＧ　・・・(3)
(3) に (1) を代入して、ａ、ｂ、ｃ のみの式にすると、
　ＯＨ＝(1-t)ａ/3＋tｂ/4＋3tｃ/4
　ＯＨ＝(1-s)uａ＋suｂ＋(1-u)ｃ/2
となります。ａ、ｂ、ｃは互いに独立なので、係数比較して、
　(1-t)/3＝(1-s)u
　t/4＝su
　3t/4＝(1-u)/2
これらを解いて、
　s=2/5, t=8/17, u=5/17
となり、ＡＧ：ＧＢ＝２：３　となります。

(2)解法２
３点Ｄ，Ｅ，Ｆを通る平面上の点をＫとすると、
　ＯＫ＝sＯＤ＋tＯＥ＋uＯＦ　(s+t+u=1)
と書けるので、
　ＯＫ＝sａ/3＋tｃ/2＋u(ｂ＋3ｃ)/4
　　＝sａ/3＋uｂ/4＋(t/2＋3u/4)ｃ
これが、ＡＢ上にあるためには、
　s/3＋u/4＝１
　t/2＋3u/4＝0
これと、s+t+u＝1 とを合わせて解くと、
　s=9/5, t=-12/5, u=8/5
このとき、ＫはＧと重なり
　ＯＫ＝(3/5)ａ＋(2/5)ｂ
であるので、ＡＧ：ＧＢ＝２：３

(3)
高さは一定なので、Ｖ１：Ｖ２：Ｖ３＝△IAB：△IBC：△ICA となります。
△ＯＧＣ を考えると、点Ｅ，Ｈもこの三角形上にあるので、点Ｉもこの三角形上にあります。
つまり、点Ｉは、線分ＧＣ上にあります。
同様に、点Ｉは線分ＡＦ上にあり、△ＡＢＣ上の点Ｉの位置は図のようになります。
図より、
　△ＩＡＣ：△ＩＢＣ＝ＡＧ：ＧＢ＝２：３
　△ＩＡＣ：△ＩＡＢ＝ＣＦ：ＦＢ＝１：２＝２：４
よって、
　Ｖ１：Ｖ２：Ｖ３＝△IAB：△IBC：△ICA＝４：３：２
No.16913 - 2012/02/12(Sun) 10:09:56