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記事No.16923に関するスレッドです
★ おりがみ / 油
一辺の長さが1である正方形の紙を2本の対角線の交点を通る直線で折る。このとき紙が重なる部分の面積の最小値を求めよ。
解）一辺の長さが1の正方形をABCD、その対角線の交点をO、ABの中点をMとするとき、『対称性』より、Oを通り、線分AMと共有点を持つ直線ｌで折るとしてよい。

質問１、この『』の対称性は何と何が対称なのですか？どういう意味で使われているのか分かりません

続き）
このときlとABの交点をE、A,Dのｌに関する対称店をA'、D'、∠MOE=θ（０≦θ≦π/4)とし紙が重なる部分の面積をSとする。０≦θ≦π/4のときABとA'D'は交点をもつから、それをFとすると、《対称性》よりSは?儖EFの面積の4倍に等しい

質問2、《　》の対称性は何と何が対称なのか、またどうやって気づけばよいのか教えてください

質問3
求める面積は同じ?凾ｪ4つ分とのことですが、なぜBがD'A'の内側でなく外側にあるのか、や、なぜD'がCBの内側でなく外側にあるのか、など重なる部分の面積の形も納得できてないです

多いですがどなたかよろしくお願いします
No.16921 - 2012/02/13(Mon) 03:47:39
☆ Re: おりがみ / ヨッシー
まず１つ目。
図の点線の折れ線で折った場合も、実線の折れ線で折った場合と
重なる部分の面積は同じ、と言うことです。
厳密に言うと、線分ＢＣと交わる折れ線は、「９０°回転すると、ＡＢ
と交わる折れ線と一致する」という移動ですが、ひっくるめて
「対称性」と言っています。
No.16922 - 2012/02/13(Mon) 06:41:40
☆ Re: おりがみ / ヨッシー
２つ目。
図の４色の三角形が合同だと言うことを言いたいわけですが、
正確な図を描いて、よく見るしかないですね。
特に、△Ａ’ＥＦと合同な三角を見つけることです。

３つ目。
ＯＤ＝ＯＤ’であり、この長さは、ＯからＢＣ上の（ＢとＣを除く）
どの点までの距離よりも長いので、Ｄ’はＢＣの外に来ます。
Ｂについても同様です。
No.16923 - 2012/02/13(Mon) 07:04:22
☆ Re: おりがみ / 油
回答有難うございます

二つ目の質問についてですが
対称性を裏付ける証拠（根拠）はないのでしょうか？
見た目だけで判断するのは危険な気がして..
No.16925 - 2012/02/13(Mon) 18:01:35
☆ Re: おりがみ / ヨッシー
少し見方を変えて、折り曲げた部分と、同じパーツを
くっつけると、正方形になります。
２つの正方形は、中心Ｏ（対角線の交点）が同じ位置にあるので、
両者は、Ｏを中心に回転した関係にあると言えます。

すると、頂点あたりに出来る小さい三角形もすべて合同であると
気付きます。
No.16926 - 2012/02/13(Mon) 21:36:59
☆ Re: おりがみ / 油
回答ありがとうございます

図までつけてもらっておいて申し訳ないのですが
「頂点あたりに出来る小さい三角形もすべて合同である」理由が分かりません。（相似だということは幾何的に分かるのですが）

幾何的（図形的）に赤、緑、黄色、青の4つの?凾ｪ全て合同であると示す方法があれば教えてください
No.16930 - 2012/02/13(Mon) 22:47:16
☆ Re: おりがみ / ヨッシー
回転したものに置き換えることが出来ると言うことは理解していただいたとして、
また、小さい三角形は相似であることまでは自明であるとします。

正方形ＡＢＣＤがＯ（対角線の交点）を中心に回転して、
正方形ＥＦＧＨになったとします。
図のようにＪからＺとします。
Ｊ、Ｌ、Ｎ、Ｑ、Ｓ、Ｕ、Ｗ、Ｙ は、辺と辺の交点。
その他は、辺の中点です。(詳細は省略)

直角三角形の合同条件（斜辺と他の１辺相等）より、
△ＯＭＮ≡△ＯＰＮ
△ＯＲＳ≡△ＯＴＳ
△ＯＶＷ≡△ＯＸＷ
△ＯＺＪ≡△ＯＫＪ
さらに、
∠ＯＮＭ＝∠ＯＮＰ＝(180°−∠ＡＮＱ)÷２
∠ＯＳＲ＝∠ＯＳＴ＝(180°−∠ＨＳＱ)÷２
∠ＯＷＶ＝∠ＯＷＸ＝(180°−∠ＧＷＵ)÷２
∠ＯＪＺ＝∠ＯＪＫ＝(180°−∠ＦＪＹ)÷２
および　∠ＡＮＱ＝∠ＨＳＱ＝∠ＧＷＵ＝∠ＦＪＹ　より
∠ＯＮＭ＝∠ＯＮＰ＝∠ＯＳＲ＝∠ＯＳＴ＝∠ＯＷＶ＝∠ＯＷＸ＝∠ＯＪＺ＝∠ＯＪＫ
となり、
△ＯＭＮ≡△ＯＰＮ≡△ＯＲＳ≡△ＯＴＳ≡△ＯＶＷ≡△ＯＸＷ≡△ＯＺＪ≡△ＯＫＪ

同様に、
△ＯＫＬ≡△ＯＭＬ≡△ＯＰＱ≡△ＯＲＱ≡△ＯＴＵ≡△ＯＶＵ≡△ＯＸＹ≡△ＯＺＹ

以上より、
△ＯＪＬ≡△ＯＮＬ≡△ＯＮＱ≡△ＯＳＱ≡△ＯＳＵ≡△ＯＷＵ≡△ＯＷＹ≡△ＯＪＹ
が言えます。
No.16934 - 2012/02/13(Mon) 23:52:18
☆ Re: おりがみ / 油
納得しました、ありがとうございます！
No.16959 - 2012/02/16(Thu) 10:11:06