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記事No.16934に関するスレッドです

おりがみ / 油
一辺の長さが1である正方形の紙を2本の対角線の交点を通る直線で折る。このとき紙が重なる部分の面積の最小値を求めよ。
解)一辺の長さが1の正方形をABCD、その対角線の交点をO、ABの中点をMとするとき、『対称性』より、Oを通り、線分AMと共有点を持つ直線lで折るとしてよい。

質問1、この『』の対称性は何と何が対称なのですか?どういう意味で使われているのか分かりません

続き)
このときlとABの交点をE、A,Dのlに関する対称店をA'、D'、∠MOE=θ(0≦θ≦π/4)とし紙が重なる部分の面積をSとする。0≦θ≦π/4のときABとA'D'は交点をもつから、それをFとすると、《対称性》よりSは?儖EFの面積の4倍に等しい

質問2、《 》の対称性は何と何が対称なのか、またどうやって気づけばよいのか教えてください

質問3
求める面積は同じ?凾ェ4つ分とのことですが、なぜBがD'A'の内側でなく外側にあるのか、や、なぜD'がCBの内側でなく外側にあるのか、など重なる部分の面積の形も納得できてないです

多いですがどなたかよろしくお願いします

No.16921 - 2012/02/13(Mon) 03:47:39

Re: おりがみ / ヨッシー
まず1つ目。
図の点線の折れ線で折った場合も、実線の折れ線で折った場合と
重なる部分の面積は同じ、と言うことです。
厳密に言うと、線分BCと交わる折れ線は、「90°回転すると、AB
と交わる折れ線と一致する」という移動ですが、ひっくるめて
「対称性」と言っています。

No.16922 - 2012/02/13(Mon) 06:41:40

Re: おりがみ / ヨッシー
2つ目。
図の4色の三角形が合同だと言うことを言いたいわけですが、
正確な図を描いて、よく見るしかないですね。
特に、△A’EFと合同な三角を見つけることです。

3つ目。
OD=OD’であり、この長さは、OからBC上の(BとCを除く)
どの点までの距離よりも長いので、D’はBCの外に来ます。
Bについても同様です。

No.16923 - 2012/02/13(Mon) 07:04:22

Re: おりがみ / 油
回答有難うございます

二つ目の質問についてですが
対称性を裏付ける証拠(根拠)はないのでしょうか?
見た目だけで判断するのは危険な気がして..

No.16925 - 2012/02/13(Mon) 18:01:35

Re: おりがみ / ヨッシー
少し見方を変えて、折り曲げた部分と、同じパーツを
くっつけると、正方形になります。
2つの正方形は、中心O(対角線の交点)が同じ位置にあるので、
両者は、Oを中心に回転した関係にあると言えます。

すると、頂点あたりに出来る小さい三角形もすべて合同であると
気付きます。

No.16926 - 2012/02/13(Mon) 21:36:59

Re: おりがみ / 油
回答ありがとうございます

図までつけてもらっておいて申し訳ないのですが
「頂点あたりに出来る小さい三角形もすべて合同である」理由が分かりません。(相似だということは幾何的に分かるのですが)

幾何的(図形的)に赤、緑、黄色、青の4つの?凾ェ全て合同であると示す方法があれば教えてください

No.16930 - 2012/02/13(Mon) 22:47:16

Re: おりがみ / ヨッシー
回転したものに置き換えることが出来ると言うことは理解していただいたとして、
また、小さい三角形は相似であることまでは自明であるとします。

正方形ABCDがO(対角線の交点)を中心に回転して、
正方形EFGHになったとします。
図のようにJからZとします。
J、L、N、Q、S、U、W、Y は、辺と辺の交点。
その他は、辺の中点です。(詳細は省略)

直角三角形の合同条件(斜辺と他の1辺相等)より、
△OMN≡△OPN
△ORS≡△OTS
△OVW≡△OXW
△OZJ≡△OKJ
さらに、
∠ONM=∠ONP=(180°−∠ANQ)÷2
∠OSR=∠OST=(180°−∠HSQ)÷2
∠OWV=∠OWX=(180°−∠GWU)÷2
∠OJZ=∠OJK=(180°−∠FJY)÷2
および ∠ANQ=∠HSQ=∠GWU=∠FJY より
∠ONM=∠ONP=∠OSR=∠OST=∠OWV=∠OWX=∠OJZ=∠OJK
となり、
△OMN≡△OPN≡△ORS≡△OTS≡△OVW≡△OXW≡△OZJ≡△OKJ

同様に、
△OKL≡△OML≡△OPQ≡△ORQ≡△OTU≡△OVU≡△OXY≡△OZY

以上より、
△OJL≡△ONL≡△ONQ≡△OSQ≡△OSU≡△OWU≡△OWY≡△OJY
が言えます。

No.16934 - 2012/02/13(Mon) 23:52:18

Re: おりがみ / 油
納得しました、ありがとうございます!
No.16959 - 2012/02/16(Thu) 10:11:06