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記事No.17016に関するスレッドです
★ マイナスの指数乗は正か負か / ビン君
y=(tanx)^(sinx)の導関数を求めよ、で両辺logをとって対数微分法をとるのですが(tanx)^(sinx)が正だという保障はどこにあるのか教えてください

よろしくお願いします
No.16980 - 2012/02/20(Mon) 02:54:52
☆ Re: マイナスの指数乗は正か負か / X
tanx＜0のときはyはsinxが整数の場合にしか定義できません。
従ってtanx＜0のときのy'は存在しませんので
tanx≧0
です。
No.16995 - 2012/02/20(Mon) 17:25:38
☆ Re: マイナスの指数乗は正か負か / ビン君
ん・・ tanx＜0のときはyはsinxが整数の場合にしか定義できないとありますが、これは一体ドコからきたのですか？もし高校の範囲外の知識を使うなら、（これは高3の問題ですが、）両辺にlogをとる解法は（結果的には正しいが）不可ということになりますよね。


No.17006 - 2012/02/21(Tue) 04:17:37
☆ Re: マイナスの指数乗は正か負か / ハオ
y=(tanx)^(sinx)の導関数を求めよ。
対数微分法は定義域の問題もあるので両辺に絶対値をつけてから対数とって微分をつけるのが普通です。
保障が曖昧なら自分で保証を与えてやればいいです。
No.17015 - 2012/02/21(Tue) 11:24:52
☆ Re: マイナスの指数乗は正か負か / ハオ
因みにmathematicaで導関数のグラフを書いたらこんな感じになりました。
No.17016 - 2012/02/21(Tue) 11:33:00
☆ Re: マイナスの指数乗は正か負か / ＿
＞ん・・ tanx＜0のときはyはsinxが整数の場合にしか定義できないとありますが、これは一体ドコからきたのですか？

何か高級な知識が必要という訳ではありません。冷静に考えてみましょう。

数学IIの指数・対数関数のあたりで、それまで指数というのは自然数しか考えられなかったわけですが、正の数については、0乗や(負の整数)乗や(有理数)乗、さらには(実数)乗まで拡張して考えることができるようになりました。

で、その際、正の数ではなく、0や負の数についての扱いは一体、どうだったでしょう？　ということですね。教科書を見直してみると良いかと思います。

＃なんかケアレスミスしてたのでちょっと書き直し。
No.17020 - 2012/02/21(Tue) 14:07:45
☆ Re: マイナスの指数乗は正か負か / ビン君
回答ありがとうございます

対数微分法は定義域の問題もあるので両辺に絶対値をつけてから対数とって微分をつける、とありますが、両辺に絶対値をつけると、この問題の場合最後の答えにlogltanxlという風に絶対値が残っちゃって答えが変わっちゃうと思うのですが。さらに、sinxの符号が分かってないのに
logl(tanx)^sinxl=sinxlogltanxlなどとできるのでしょうか？こういう操作をやったことがないのでちょっとよく分かりません。

教科書にはa^x(01)のグラフのみ載っており、aが0や負の数についての扱いは載ってませんね、そのことから０や負の数の実数乗は定義されていないことを察しろ、ということですか？
定義されていないから問題を解く上でも気にしなくてよい、という思考過程ですか？
No.17033 - 2012/02/22(Wed) 07:03:18
☆ Re: マイナスの指数乗は正か負か / 黄桃
要するに、教科書に書いてない、と文句をいいたいだけでしょうか？

そもそも a<0, x:実数に対して a^x が定義できる場合は、xが分母が奇数の有理数の場合しかないわけです（整数は分母が1と考えます）。
(-1)^(1/2)が定義できれば複素数なんて考える必要がありません。このことは複素数導入の時に説明されているはずで、全然「察する」ではありません。

そして、導関数の定義では、h→0 という時の h は分母が奇数の有理数以外も動くわけですから、a<0 の場合、そもそも「導関数の定義が出来ない」ことは明らかです。

＃それを「察しろとはひどい」というのは自由ですが、それならほとんどの数学の問題は「そんな解き方を察しろとはひどい」となるでしょう。

＃＃y=5Cn という「nの関数」を考えれば、これの定義域は普通は 0から5までの整数、でしょう。
＃＃この関数の導関数を求めよ、って問題がでたら「そんなの意味不明」と思いませんか？
＃＃それとも「これの導関数が定義できないことを察しろというのはひどい」と思いますか？

絶対値をとれ、という意味がわかりませんが、tan(x)<0の時も定義できるように |tan(x)|^sin(x)と定義域を拡張しても同じように計算できるのは事実です（それでも tan(x)=0 の場合は除かれています）。
ですが、別に定義域を拡張する必要はありません。絶対値がついていても使える、くらいに考えるべきでしょう。
拡張して絶対値がついていても、そもそも tan(x)>0 の場合しかもとの関数は定義されておらす、その場合は|tan(x)|=tan(x) だから答としては同じです。
個人的には絶対値をつけた答はおかしい（計算途中、といった方がいいかも）と思いますが、答自体が誤りではありません。

なお、何か誤解しているようですが、この(tan(x)>0の)場合指数部分 sin(x)の符号は負でも問題ありません。

＃y=0^x という指数関数なら、x<0では 0^x=1/(0^(-x))=1/0 が定義できない(ついでにx=0 の0^0も不定で定義できない）からxが負では困りますが。
No.17043 - 2012/02/24(Fri) 07:59:59