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記事No.17062に関するスレッドです
★ 高2 三角関数 / klmo
実数x、yが11x^2+12xy+6y^2=4を満たす時、x^2+y^2の最大値と最小値を次のように求める。
xy平面上の原点Oと他の点P(x,y)を結ぶ線分OPの長さをr、x軸と動径OPのなす角をθとすると、
1/r^2(11x^2+12xy+6y^2)=(ア)cos^2θ+(イウ)sinθcosθ+(エ)
=(オ)/(カ)cos2θ+(キ)sin2θ+(クケ)/(コ)=(サシ)/(ス)sin(2θ+α)+(クケ)/(コ)である。
但し、sinα=(セ)/(ソタ)、cosα=(チツ)/(テト)である。
従って、x^2+y^2の最大値は(ナ)、最小値は(ニ)/(ヌネ)である。

(オ)~(ト)は2倍角、合成だと思うんですがそこ以外のイメージが全くわきません。図などを使って説明してくれるとありがたいです。よろしくお願いします。
No.17028 - 2012/02/22(Wed) 00:28:02
☆ Re: 高2 三角関数 / X
>>xy平面上の原点Oと他の点P(x,y)を結ぶ線分OPの長さをr、
>>x軸と動径OPのなす角をθとすると、
回りくどく書いてありますが、これは
x=rcosθ (A)
y=rsinθ (B)
と置く、つまりPの座標を極座標に変換するということです。
このとき
x^2+y^2=r^2 (C)
また(A)(B)を
11x^2+12xy+6y^2=4
に代入すると
r^2{(ア)cos^2θ+(イウ)sinθcosθ+(エ)}=4
よって
r^2=4/{(ア)cos^2θ+(イウ)sinθcosθ+(エ)} (D)
(C)(D)より
x^2+y^2=4/{(ア)cos^2θ+(イウ)sinθcosθ+(エ)}
∴x^2+y^2は
(ア)cos^2θ+(イウ)sinθcosθ+(エ)が最小のとき最大
(ア)cos^2θ+(イウ)sinθcosθ+(エ)が最大のとき最小
となります。
No.17034 - 2012/02/22(Wed) 07:20:57
☆ Re: 高2 三角関数 / klmo
ありがとうございます。理屈はわかったのですが、やはりイメージがわきません。
11x^2+12xy+6y^2=4というxy平面上の図形(？）を通るx^2+y^2(原点中心の円)の半径の最大、最小というのは、図形的にはどういうことなんでしょうか?
No.17040 - 2012/02/24(Fri) 02:17:57
☆ Re: 高2 三角関数 / X
その理解の仕方が間違っています。
まず
11x^2+12xy+6y^2=4 (A)
ですがこれは平面上の曲線です。
次に
x^2+y^2
はその曲線(A)上の点Pと原点との間の距離の二乗と
考えて下さい。
つまりこの問題は曲線(A)と原点との距離の最大値と最小値
を求めることと等価になります。
No.17050 - 2012/02/25(Sat) 04:06:53
☆ Re: 高2 三角関数 / klmo
何度もすみません。
「平面上の曲線」についてですが、実数x、yに制限はないので最大値はとり得ないんじゃないでしょうか。
No.17060 - 2012/02/26(Sun) 21:37:24
☆ Re: 高2 三角関数 / ヨッシー
11x^2+12xy+6y^2=4 は、図のように、楕円になりますので、
最大値も存在します。
No.17062 - 2012/02/26(Sun) 23:01:04
☆ Re: 高2 三角関数 / klmo
なるほど、楕円でしたか
理解できました。ありがとうございます。
No.17081 - 2012/02/28(Tue) 22:33:02