[ 掲示板に戻る ]

記事No.17073に関するスレッドです

数学の問題 / アシュリー
数学の問題が分かりません

aを正の実数とする。点(x,y)が,不等式 x^2≦y≦x の定める領域を動くとき,常に 1/2≦(x-a)^2+y≦2 となる。aの値の範囲を求めよ。
http://www.riruraru.com/cfv21/math/htm08f3.htm
y=x^2の0≦x≦1の部分がy=-(x-a)^2+(1/2)から上にこればよいので
(iii)0≦x≦1においてx^2≧-(x-a)^2+(1/2)
とありますが、このx^2≧-(x-a)^2+(1/2)
の式の意味がよくわかりません。
x^2=-(x-a)^2+(1/2)のときも含んでいるのでこれは0≦x≦1の部分でy=x^2と交わってしまう可能性もあるんじゃないでしょうか?
どうしてx^2≧-(x-a)^2+(1/2)の式で「y=x^2はy=-(x-a)^2+(1/2)より上にある。または接する」となるのでしょうか?

また、(i)(0,0)が?Eから下:0≦-(0-a)^2+2とありますが、
これは図を見たら分かるように(0,0)が?Eより下あるいは?Eのグラフが(0,0)を通る場合の2つ満たす必要があります。
そこで?Eから下(※?E上も含む)の範囲の表し方というのは
y≦(x-a)^2-2・・・(A)ですよね。
(0,0)がこの(A)の範囲にあればよいとのことなので
(0,0)を(A)にそのまま代入してやれば必要なaの条件が求まるという解釈でいいのでしょうか?
(1,1)のときも同じようにやってるとおもうのですが...
範囲を表す式に座標を代入するという作業をやったことがないのでどうもしっくりきません。
誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.17070 - 2012/02/28(Tue) 04:32:52

Re: 数学の問題 / ヨッシー
0≦x≦1においてx^2≧-(x-a)^2+(1/2)
というのは、0≦x≦1 の範囲にあるすべてのxにおいて、
y=x^2 のyの値(図の赤丸のy座標)が、
y=-(x-a)^2+(1/2) のyの値(図の青丸のy座標)より
大きいか等しいと言うことです。

No.17071 - 2012/02/28(Tue) 06:42:46

Re: 数学の問題 / ヨッシー
y=x^2 と y=-(x-a)^2+(1/2) が交わっている場合(図の右)は、
x^2=-(x-a)^2+(1/2) だけではなく、青丸の方が赤丸より上にある、つまり
 x^2<-(x-a)^2+(1/2)
となるxが出来てしまう状態で、これはNGです。
ただし、x^2=-(x-a)^2+(1/2) だけであれば、図の左のように
接するだけなので、これはOKです。

=(イコール)を含んでも良いかどうかは、最初の条件の
与えられ方によります。この問題では、
 1/2≦(x-a)^2+y≦2
なので、=を含んでもOKです。これが
 1/2<(x-a)^2+y<2
であれば、=を含んではダメです。

No.17072 - 2012/02/28(Tue) 07:09:41

Re: 数学の問題 / ヨッシー
図の青で網掛けをした部分(境界線も含む)が、
 y≦(x-a)^2-2・・・(A)
です。(A) に含まれる点(0,0)(1,0) (2,-1) などを、この式に代入すると、
不等式は成り立ちます。
一方、(0,1)(1,2)(3,2) など(A)に含まれない点を(A)に代入しても、
不等式は成り立ちません。

別の見方をすると、
 y=(x-a)^2-2
の式に、x=0 を代入したときのyの値
 (0-a)^2-2
つまり、図の黄色の点のy座標よりも、0(=(0,0) が示す点のy座標)
の方が下(または同一点)にありますよ、というのが、
 0≦(0-a)^2-2
の意味です。

No.17073 - 2012/02/28(Tue) 07:31:08