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記事No.17176に関するスレッドです
★ (No Subject) / オン太朗
-2≦x≦2の範囲で、関数
f(x)=x^2＋2x-2 g(x)=-x^2＋2x＋a＋1
について、次の命題が成り立つようなaの値の範囲をそれぞれ求めよ。
(1)すべてのxに対してf(x)(2)あるxに対してf(x)<g(x)
(3)ある組x1,x1に対してf(x1)<g(x2)

(1)は解答にh(x)=g(x)-f(x)とおくと
h(x)=-2x^2＋a＋3
求める条件は-2≦x≦2において、つねにh(x)>0となることでh(±2)>0よってa>5
これは理解できます。
ですが(2)の解答は-2≦x≦2において、h(x)>0をみたすxが存在することでh(0)>0
a＋3>0
a>-3
とあります。
これは図を描いてみると分かるとおもうのですが
(1)と同じ場合も単純にa＋3>0とするだけではありえますよね？
だから問題文の条件「あるxに対してf(x)(1)の-3<a<5とすべきなんじゃないかと思ったのですがどうなんでしょうか？
a>-3だと(1)のa>5を満たすaの値も含まれておりそれらはすべて(1)の条件を満たすaなので
(2)ではそのようなaを含んではいけないように思うのですが。。
また、(3)について解答には「f(x)の最小値<g(x)の最大値となればよい」とあるのですが、問題文にあるx1とx2はx1≠x2と考えてよいのでしょうか？
x1=x2のときも含めるならば、f(x1)<g(x2)とならない場合があるとおもうのですがどうなんでしょうか。
文系で数学は超がつくほど苦手科目です。
誰か分かる方教えてください。お願いします＞＜
No.17167 - 2012/03/12(Mon) 15:59:59
☆ Re: / ヨッシー
まず、上の記事を書き直しておきますね。
これは、半角の＜を使うと、その直後に来る文字によっては、
制御文字と見なされて、起こります。

上の記事はこう書いています。

-2≦x≦2の範囲で、関数
f(x)=x^2＋2x-2 g(x)=-x^2＋2x＋a＋1
について、次の命題が成り立つようなaの値の範囲をそれぞれ求めよ。
(1)すべてのxに対してf(x)＜g(x)
(2)あるxに対してf(x)＜g(x)
(3)ある組x1,x2に対してf(x1)＜g(x2)

(1)は解答にh(x)=g(x)-f(x)とおくと
h(x)=-2x^2＋a＋3
求める条件は-2≦x≦2において、つねにh(x)＞0となることでh(±2)＞0よってa＞5
これは理解できます。
ですが(2)の解答は-2≦x≦2において、h(x)＞0をみたすxが存在することでh(0)＞0
a＋3＞0
a＞-3
とあります。
これは図を描いてみると分かるとおもうのですが
(1)と同じ場合も単純にa＋3＞0とするだけではありえますよね？
だから問題文の条件「あるxに対してf(x)＜g(x)」を満たすためには
(1)の-3＜a＜5とすべきなんじゃないかと思ったのですがどうなんでしょうか？
a＞-3だと(1)のa＞5を満たすaの値も含まれておりそれらはすべて(1)の条件を満たすaなので
(2)ではそのようなaを含んではいけないように思うのですが。。
また、(3)について解答には「f(x)の最小値＜g(x)の最大値となればよい」とあるのですが、問題文にあるx1とx2はx1≠x2と考えてよいのでしょうか？
x1=x2のときも含めるならば、f(x1)＜g(x2)とならない場合があるとおもうのですがどうなんでしょうか。
文系で数学は超がつくほど苦手科目です。
誰か分かる方教えてください。お願いします＞＜

No.17168 - 2012/03/12(Mon) 20:04:22
☆ Re: / ヨッシー
(2) あるｘは、すべてのｘを否定するものではありません。
「あるｘについて成り立つ」とは「全く成り立たないわけではない」
または「１カ所でも成り立てばＯＫ」であって「成り立たないときもある」ではありません。
よって、ａ＞５ も含みます。

(3) も同じで、「ある組x1,x2に対して」は「１カ所(１組)でも成り立てばよい」
であって、「成り立たないときがあってはいけない」ではありません。
よって、x1＝x2 の場合も、考えに入れてもよろしいです。
No.17169 - 2012/03/12(Mon) 20:14:22
☆ Re: / ヨッシー
グラフで描くと、図のような位置関係になります。
y=g(x) （上に凸のグラフ）が、図の位置より上にあるのが
求められる状態です。
No.17171 - 2012/03/12(Mon) 20:48:32
☆ Re: / オン太朗
補足ですみません。
(2)についてa-5≦0であるときも一部h(x)>0を満たすxが存在しますが
a-3>0のときとどう違うのかわかりません。
考え方次第でa-5≦0としてしまいそうなのですが。。。
よかったらこの点にもお答えお願いします＞＜
No.17172 - 2012/03/13(Tue) 02:48:00
☆ Re: / オン太朗
a-5≦0のときでたとえばa-5=0ならば
y=h(x)の2解は-2,2でx軸と交わる。
x=-2,2ではともにh(x)=0となりh(x)>0は成り立たないが
-20が成り立っている。
これより、あるxについてh(x)>0は成り立っているといえる
と思ったのですがこれじゃだめなんでしょうか？
No.17173 - 2012/03/13(Tue) 02:55:16
☆ Re: / ヨッシー
まず、17173 の記事を訂正しておきます。
< ではなく ＜ を使うようにしてください。

a-5≦0のときでたとえばa-5=0ならば
y=h(x)の2解は-2,2でx軸と交わる。
x=-2,2ではともにh(x)=0となりh(x)＞0は成り立たないが
-2＜x＜2ではh(x)＞0が成り立っている。
これより、あるxについてh(x)＞0は成り立っているといえる
と思ったのですがこれじゃだめなんでしょうか？
No.17174 - 2012/03/13(Tue) 07:04:27
☆ Re: / ヨッシー
No.17172 の回答
a-5≦0(つまり a≦5)であっても、たとえば、a=3, a=1 のように、
a+3＞0(つまり a＞-3)であれば、あるｘで　h(x)＞0 は成り立ちます。
それはあくまでも、 a＞-3 だからであって、a がもっと小さい
a=-5 などになれば、h(x)＞0 は成り立ちません。

まとめると、-2≦x≦2 であるｘについて、
ａ＞５：すべてのｘについて　h(x)＞０ が成り立つ。もちろん、あるｘについても　h(x)＞０ が成り立つ。
-3＜a≦5：すべてのｘについては h(x)＞は成り立たないが、あるｘについては h(x)＞０ が成り立つ。
ａ＜-3：すべてのｘについて h(x)＞０ は成り立たない。
となります。

あるｘについて成り立つか成り立たないかの境目は、ａ＝−３であって、
ａ＝５ のところは、関係ありません。
No.17176 - 2012/03/13(Tue) 10:40:11
☆ Re: / ヨッシー
No.17173 の回答
>x=-2,2ではともにh(x)=0となりh(x)＞0は成り立たないが
>-2＜x＜2ではh(x)＞0が成り立っている。
>これより、あるxについてh(x)＞0は成り立っているといえる
それで正しいです。

どうも、「『すべてのｘについて成り立つ』は『あるｘについて成り立つ』ではない」
と思われている節がありますが、そこを改めてもらわないと、
この手の疑問が絶えませんので、今一度確認して下さい。
No.17177 - 2012/03/13(Tue) 10:47:26
☆ Re: / オン太朗
回答ありがとうございます。
つまり、「あるxについてh(x)＞０」が成り立つとは
「すべてのxについてh(x)＞０」が成り立つ場合も含んでいるということでしょうか？
No.17180 - 2012/03/14(Wed) 03:16:48
☆ Re: / ヨッシー
そういうことです。

上で書いた「あるｘは、すべてのｘを否定するものではありません」も
つまりはそういうことです。
No.17182 - 2012/03/14(Wed) 06:10:10