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記事No.17339に関するスレッドです
★ 関数 / 受験生
教えてください。お願いします。

実数を係数とする3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0が異なる実数解をもつとする。このときa>0,b>0ならば、少なくとも２つの実数解は負であることを示せ。
No.17332 - 2012/04/06(Fri) 23:06:22
☆ Re: 関数 / らすかる
a＞0,b＞0ならばx^3,ax^2,bxはすべてx≧0で単調増加だから
x^3+ax^2+bxも単調増加、よってx≧0のときx^3+ax^2+bx=-cの解は高々1個。
No.17334 - 2012/04/07(Sat) 02:17:17
☆ Re: 関数 / X
らすかるさんの方針に比べるとかなり泥臭いですが
別解を。

別解)
f(x)=x^3+ax^2+bx+c
と置くと
f'(x)=3x^2+2ax+b
題意からy=f(x)とx軸との交点は少なくとも２つなければ
なりませんので、f(x)は極大値、極小値を持ちます。
よってxの方程式f'(x)=0は異なる実数解を二つ持つことになります。
ここでf'(x)=0の解をp,q(p＜q)とすると解と係数の関係から
p+q=-2a
pq=b
これとa＞0,b＞0により
p＜0,q＜0 (A)
一方f(x)=0の３つの実数解(重解は同じ値の解が２つある
とみなします)のうち、小さい方の二つを
α、β(α≦β)とすると
α≦p≦β≦q (B)
(A)(B)より
α≦β＜0
ですので問題の命題は成立します。
No.17335 - 2012/04/07(Sat) 02:27:35
☆ おまけ / angel
ちょっと解答としては使い辛い話ですが、グラフとして考えることもできます。

まず、「異なる(3)実数解を持つ」という条件から、y=f(x)=x^3+ax^2+bx+c のグラフの概形が分かります。( 添付図の左上 )

加えて、a＞0, b＞0 は、f'(0)＞0 かつ f''(0)＞0 を意味しますから、x=0 というのが添付図の紫の範囲に含まれることが分かります。( 添付図の左下、および中央 )

そうすると、負の実数解を2〜3個持つパターン、つまり、3次関数のグラフと x軸の負の部分との共有点が2〜3個のパターンしかない事が分かる、ということになります。( 添付図の右 )
No.17339 - 2012/04/07(Sat) 11:58:59
☆ Re: 関数 / 受験生
返事が遅れて申し訳ございません。
みなさん分かりやすい回答ありがとうございました。
参考にさせていただきます。
No.17409 - 2012/04/15(Sun) 22:44:03