(1)座標平面上の原点に点Aが固定されている。2点B、Cが以下の条件を満たしながら動くとき、点Bの軌跡を求めなさい。
条件：3点A、B、Cは∠Aが直角である直角二等辺三角形で、点Cは(0,10)を中心とする半径1の円周上を動く。
(2)(1)で原点に固定されていた点Aを、原点を中心とする半径1の円周上で動かすとき、点Bの軌跡を求めなさい。
(1)でB(x,y)、C(cost,sint+10)とおいてAB:AC:BC=1:1:√2の連立方程式を解こうとしたんですが無理でした。Cが円周上を動くときBも何かの円周上を動くような気がするんですが、どうやって示せばいいのかわからないです。教えてください。よろしくお願いします。
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No.17372 - 2012/04/11(Wed) 16:14:42
| ☆ Re: 図形と方程式の軌跡 / ヨッシー  | | | まず、直角に曲がることのとらえ方ですが、
ある点Ｃから ｘ方向にｓ，ｙ方向にｔだけ進むと、
点Ａに行き着くとき、（これを (s,t) 進むということにします）
点Ａから、(t,-s) または、(-t,s) 進んだ点Ｂを考えると、
∠ＣＡＢ＝90°、ＡＢ＝ＡＣ となります。
これは、座標平面上で、確認できます。
ここからが(2) の説明ですが、
Ｃ(cosｔ, sinｔ＋10) が動点で、Ａ(cosｕ，sinｕ) が定点とします。
ＣからＡまでは、(cosｕ−cosｔ, sinｕ−sinｔ−10) だけ進むので、
そこから、(sinｕ−sinｔ−10, cosｔ−cosｕ) または
(10−sinｕ＋sinｔ, cosｕ−cosｔ) 進んだ点が点Ｂとなります。
ここでは、(sinｕ−sinｔ−10, cosｔ−cosｕ) 進んだ場合について
解いてみます。
点Ｂの座標は、(cosｕ＋sinｕ−sinｔ−10, sinｕ＋cosｔ−cosｕ)
と書けます。
これを、
ｘ＝cosｕ＋sinｕ−sinｔ−10
ｙ＝sinｕ＋cosｔ−cosｕ
とおいて、
sinｔ＝−ｘ＋cosｕ＋sinｕ−10
cosｔ＝ｙ−sinｕ＋cosｕ
より、ｔを消去すると、
(ｘ−cosｕ−sinｕ＋10)^2＋(ｙ−sinｕ＋cosｕ)^2＝１
のように、
(cosｕ＋sinｕ−10, sinｕ−cosｕ)中心で、半径１の円になります。
半径１は固定であるので、今度は、中心座標
(cosｕ＋sinｕ−10, sinｕ−cosｕ)
が、ｕに連れてどういう動きをするかという話になります。
これも、ｘ＝cosｕ＋sinｕ−10, ｙ＝sinｕ−cosｕ より
ｘ＋１０＝cosｕ＋sinｕ と ｙ をそれぞれ２乗して足してみましょう。
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No.17397 - 2012/04/13(Fri) 17:09:10 |
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