下の問題について、２つ質問があります。よろしくお願いします。
【問題】
ａ＞０とする。０≦ｘ≦ａにおける関数f(x)=x^3-4x^2+4x の最大値を求めよ。
【自分の答案】
y=f(x)=x^3-4x^2+4x・・・?@とおくと、
f'(x)=3x^2-8x+4
f'(x)=0 のとき、
3x^2-8x+4=0
(3x-2)(x-2)=0
∴x=2/3, 2
増減表は（手書きでないので、ここでは表現しにくいのですが）
x : : 2/3: : 2:
f'(x)：+ : 0:- : 0:+
f(x) ：↑:32/27:↓: 0:↑
2<x で、
y=f(x)=x^3-4x^2+4x=32/27 を満たす x を求めると、
x^3-4x^2+4x-32/27=0
27x^3-108x^2+108x-32=0
ここまでしか解けませんでした。
【模範解答】では、
（１）質問の１つ目です。
これを
(3x-2)^2*(3x-8)=0
と因数分解して
x=8/3
を求めていますが、どうしてこうできるのか解りません。
解説にはx=2/3で接するから、(3x-2)^2が出てくる、とあるの
ですが、x=2/3で接する、というのは何が何に接するという意味
なのかが解りません。
x=2 で曲線がx軸に接するというのなら解るのですが、、、。
（２）質問の２つ目です。
定義域を３つに分け、それぞれの最大値を求めています。
具体的には、
i)0<a<2/3のとき
x=aのとき
最大値 f(a)=a^3-4a^2+4a
ii)2/3=<a<8/3のとき
x=2/3のとき
最大値 f(2/3)=32/27
iii)3/8=<aのとき
最大値 f(a)=a^3-4a^2+4a
となっていますが、i)とii)をまとめて、
0<a<8/3のとき
最大値 f(2/3)=32/27としてしまってはいけませんか。
グラフを描くと、そうなると思うのですが。
以上２点よろしくお願いします。
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No.1753 - 2008/07/26(Sat) 00:11:11
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