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記事No.17586に関するスレッドです
★ 集合の切断、完備化について / ハオ
集合の切断又完備化についてよく理解できません
特に青の波線部分の理解で合っているのか自信がありません。理解に誤りがあったらご指摘お願いします。
No.17586 - 2012/05/12(Sat) 13:18:57
☆ Re: 集合の切断、完備化について / ハオ
C(X)が完備である事の証明は参考書からです。
その証明になぞって自分で具体例をあてて考えてみましたが、どうも納得できないのです。
No.17587 - 2012/05/12(Sat) 13:26:46
☆ Re: 集合の切断、完備化について / angel
こんにちは。
とりあえず、ですが。参考書的な定義なり証明と、自身で考えた例示の部分は分けておかないと、見ている方で分からないです。

話の流れとしては、Xの切断から完備であるC(X)を作り出すお話が参考書上であって、それに対して自分で X={ {1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4} } ( a≦b ≡ a⊂b として≦を定義 ) を作ってみた、ということでしょうか。

もしそうだとすると、実例としてマズいです。
なぜなら、そのXは稠密でもなければ「最小元を持たない」という性質も満たさないからです。
※まあ、完備性の説明をするときには稠密であるという条件は使いませんが…

「切断」の概念を使って完備性を説明するのは、実数以外での応用が思いつかないので、やはりイメージするにしても、有理数→実数の拡張の事例くらいしかないのかな、と思います。

P.S. ちょうど
http://d.hatena.ne.jp/Cuz-orz/20090613/p1
にあるような話を勉強しているのでしょうか?
No.17588 - 2012/05/12(Sat) 16:07:17
☆ Re: 集合の切断、完備化について / angel
画像上の青の波線部分について
1. 最小元が除かれたから…
もとの最小元φが除かれても、新たに {1} が最小元になっているため不適です

2. α4 が切断でない理由
特に問題はないです。
※もっとあっさり、「α4=X だから、切断αの持つ性質α≠X に反する」でも。

3. Aは上に有界だから…
詳しい話は多分後で説明が出てくるところでしょうから一言だけ。
今は上に有界なAに対しての性質を考察しているので、「Aは上に有界だから…」で始めないとそもそも論理としてN.G.です。

4. もしβに最大元があれば…
感覚的に「そもそも最大元を持たない集合の和集合がβなので、明らかにβは最大元を持たないのでは」というのは、今回は正しいです。
ただ、無限の操作を行っている ( 今回は無限個の集合の和集合をとっている ) ため、直感的に正しそうなことが本当にそうか、と言われると、それはちゃんと検証しないといけません。
※今回とは無関係な例ですが、有限個の開集合の積はやはり開集合ですが、無限個だと感覚に反して閉集合になることもあったりして、(特に無限の操作が絡むと)感覚だけで進めてはダメなのです。

5. αがいつから切断になったか?
背理法の仮定として α∈A⊂C(X)≡Xの切断の集合 だからです。
※直前の「もしβに最大限aがあれば〜α∈Aがある」が該当
No.17589 - 2012/05/12(Sat) 16:46:10
☆ Re: 集合の切断、完備化について / ハオ
解説有難うございます。説明不足にも関わらず伝えたい事を把握して下さり有難うございます。
具体例がマズイ理由はとてもよく分かりました。
では∀x∈R(実数), 0 ＜x≦１なら自己稠密で最小元は存在しませんよね？
と思い0<x≦1では切断の全体を考えますと、感覚的に幾つもの和集合となり最終的に0＜x＜1でいいのでしょうか？
No.17599 - 2012/05/14(Mon) 17:29:54
☆ Re: 集合の切断、完備化について / ハオ
考え直しました
切断の集合が0＜x＜1はおかしいですね
要素が無限にある集合でしょうか？
その要素は0＜x＜1を埋め尽くす様な要素で、何というか段々幅が1に近づいていく要素ですか？
ちょうど
http://d.hatena.ne.jp/Cuz-orz/20090613/p1
の部分を参考書で学んでいました、読ませていただきます。
No.17600 - 2012/05/14(Mon) 18:46:10
☆ Re: 集合の切断、完備化について / angel
> では∀x∈R(実数), 0 ＜x≦１なら自己稠密で最小元は存在しませんよね？

はい。そのようにXを定めれば今回の話に適合します。
※ただし、それでは既に ( わざわざC(X)を作らなくとも ) Xが完備なので面白みはありません。せめて X={ q∈Q | 0＜q≦1 } とか。

ちょっと悩みのポイントが私には見えないのでアレなんですが、具体例としてはやはり「デデキントの切断」を考えてはどうでしょうかね。
これを使うと、有理数と集合の概念で実数を説明できるのです。…四則演算等も含めて。
No.17601 - 2012/05/14(Mon) 23:16:39
☆ Re: 集合の切断、完備化について / ハオ
なるほどです。面白みがある方がいいです！
X={q∈Q| 0＜q≦1}で考えてみます。
この場合Xの切断の全体の集合C(X)はどのような形で表されるのでしょうか？
感覚的には分かるのですが、数学的に記述する事は可能なのでしょうか？何度もすいません。
No.17602 - 2012/05/15(Tue) 00:08:25
☆ Re: 集合の切断、完備化について / angel
> この場合Xの切断の全体の集合C(X)はどのような形で表されるのでしょうか？
> 感覚的には分かるのですが、数学的に記述する事は可能なのでしょうか？

この場合、ひとつの「切断」がひとつの「実数」に対応します。
例えば、{ q∈Q | 0＜q＜√(1/2) } ( 有理数だけを使って表現するなら { q∈Q | q＞0 and q^2＜1/2 } ) に対しては 無理数 √(1/2) が、{ q∈Q | 0＜q＜1/2 } に対しては有理数1/2が対応します。

なので、非常にざっくりとした表現では、
　C(X) = { { q∈Q | 0＜q＜r } | r∈R, 0＜r＜1 }
ですかね。

ちなみにこれは、Q を完備化した R を予め知っているからこそできる表現であることに注意。
※本来の話の流れとしては、X=Q の場合に完備化した C(X)を作って、C(X) を改めて R としましょう、となるわけなので。
No.17609 - 2012/05/18(Fri) 02:49:10
☆ Re: 集合の切断、完備化について / ハオ
ナルホドです。ひとつの切断がひとつの実数に対応するという理解は、とても役に立ちました。有難うございます。
切断を用意してあげたら、その切断の上限が切断と対応するのですね。
C(X)は集合の集合だから｛｝を２つ用いればいいのは当たり前でしたね、気付かず質問してしまいすいませんでした。

わざわざ、考えが浅い僕の為に時間を割いて頂き有難う御座いました。数学を質問をしに行く身近な人がいないので、またお世話になるかと思いますが、その時はどうぞ宜しくお願いします。

P.S.
学校で確率論の初歩を習ったのですが、実数上のボレル集合体（全ての半開区間(a,b]を含む最小のσ-集合体）がこの様に定義するだけで[a,b]や(a,b)や[a,b)等を含む証明として
[a,b]= ∩_[n=1,∞](a-1/n,b]　
と書けて、(a-1/n , b]は半開区間であり、σ-集合体に含まれるので、その積集合もσ-集合体に含まれる。
と板書している時、あぁこれがangelさんが仰っていた
>無限個だと感覚に反して閉集合になることもあったりして
なんだなと分かり少し嬉しくなりました。
No.17622 - 2012/05/20(Sun) 01:56:23