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記事No.17857に関するスレッドです
★ 文系高校生　相似が分かりません / souzi
∠Aが直角である△ABCでCA=1 AB=2とする。頂点Aから辺BCに下した垂線の足をA[1]とする。
次にA[1]から辺ABに下した垂線の足をA[2]とする。
このようにして、図のように垂線A[2]A[3]、A[3]A[4]・・・を作っていく。
また、線分AA[1]の長さを2/√5(問1の問題です)とするとき、線分の長さの和A[0]A[1]＋A[1]A[2}＋・・・＋A[n-1]A[n](ただし、A[0]=Aとする)を求めよ。

という問題で解答には
△BCA,△BAA[1],△BA[1]A[2]、△BA[2]A[3]、・・・△BA[n-1]A[n]はすべて相似であり、相似比は1:(2/√5)である。
よって初項2/√5,等比2/√5、項数n個の等比数列の和であるので
2(√5＋2){1-(2/√5)^n}・・・(答)
とあるのですが
【△BCA,△BAA[1],△BA[1]A[2]、△BA[2]A[3]、・・・△BA[n-1]A[n]はすべて相似であり、相似比は1:(2/√5)である。】の部分がわかりません。
問1でAA[1]の長さを求めるとき、△BCAと△BAA[1]の相似を利用して
AC=1　BC=√5　BA=2より
CA:AA[1]=BC:BAよりAA[1]=2/√5が求まったので
線分の比から考えて
△BCAと△BAA[1]の相似比は1:(2/√5)というのはわかりますが、
どうしてこの比がその他の相似な図形にも適用できるのかがわかりません。
僕がこの問題を解いたときはとりあえずA[1]A[2]を(1)のときと同様に比を利用して求めたら(2/√5)^2とでたので、
ここでやっと規則性に気付いたのですが、このやり方だとA[2]A[3]が(2/√5)^3になるのか、A[3]A[4]が(2/√5)^4になるのか確信をもてませんよね；
おそらく相似比を利用すれば確信をもって各線分の長さの規則性を利用することができると思うのですが。。。

また、たとえばなんですが、もし1:(2/√5)という相似比が△BA[1]A[2]に利用できるならこの三角形は△BACと相似なので
同じ辺どうしの比でA[0]C:A[1]A[2]=1:A[1]A[2]=1:(2/√5)　とできますよね？
ですがこれを解いてもA[1]A[2]は(2/√5)^2とはなりません。
なぜなんでしょうか？
相似が昔っから本当に苦手で困っています・・・誰か分かる方教えてください。お願いします。
No.17856 - 2012/06/22(Fri) 15:24:35
☆ Re: 文系高校生　相似が分かりません / souzi
たとえば図の?@?A?Bがそれぞれ相似になっている図形があるとします。
このとき(?@と?Aの相似比)かつ(?@と?Bの相似比)かつ(?Aと?Bの相似比)は成り立つんでしょうか？
模試成り立つなら解答の【△BCA,△BAA[1],△BA[1]A[2]、△BA[2]A[3]、・・・△BA[n-1]A[n]はすべて相似であり、相似比は1:(2/√5)である。】もわかる気がするんですが・・・
なんだかよくわかりません。
誰か分かる方教えてください。お願いします。
No.17857 - 2012/06/22(Fri) 15:33:35
☆ Re: 文系高校生　相似が分かりません / ヨッシー
例えば、あらゆる正三角形は相似なのですが、どんな大きさの正三角形でも、
辺と中線(△を半分に折ったときの折れ線)の比は、2:√3 ですよね？
また、正方形についても、どんな大きさの正方形でも、辺と対角線の比は、
1:√2 です。

つまり、相似な２つの図形に一定の角度で同じように引いた線分も、
辺との比を保ったままになります。


また、２つ目の記事の図のように、相似な三角形を並べただけでは、
相似比が同じかどうかわわかりません。ただし、下の図のように、
頂点が直線上にあるなら、
　?@と?Aの相似比＝?Aと?Bの相似比
となります。ただし、?@と?Bの相似比はこれらとは違います。
　?@と?Aの相似比＝?Aと?Bの相似比＝ａ：ｂ
なら、
　?@と?Bの相似比はａ^2：ｂ^2
になります。

下の図は、相似比が２：１の三角を３つ並べたもので、
　?@と?Aの相似比＝?Aと?Bの相似比＝２：１
　?@と?Bの相似比＝４：１
です。

No.17858 - 2012/06/22(Fri) 16:03:18
☆ Re: 文系高校生　相似が分かりません / souzi
回答ありがとうございます。
補足です。
ということは本問の場合は△ABCの中で三角形が作られているので相似比がわかり、△ABCと△BAA[1]が相似で、この相似比が1:2/√5だから
△ABCと△BAA[1]の相似比＝△BAA[1]と△BA[1]A[2]の相似比とすることができるということですよね？
なんていったらいいのかわかりませんが相似な図形が一か所みつかったらその相似な図形に近い方の図形から相似比を考えていくということなんでしょうか？
No.17859 - 2012/06/22(Fri) 17:51:55
☆ Re: 文系高校生　相似が分かりません / souzi
何度もごめんなさい。
【また、２つ目の記事の図のように、相似な三角形を並べただけでは、
相似比が同じかどうかわわかりません。】の部分についてもう少し教えて頂けないでしょうか＞＜
あとちょっとでなにかが掴めそうな気がします・・・(?)
No.17860 - 2012/06/22(Fri) 18:14:40
☆ Re: 文系高校生　相似が分かりません / ヨッシー
最初に、確認しておかないといけないのですが、
「相似比」とは何か、説明出来ますか？
出来る場合は、説明してみて下さい。
No.17861 - 2012/06/22(Fri) 18:41:30
☆ Re: 文系高校生　相似が分かりません / souzi
一方の図形を拡大、あるいは縮小したときの比率・・でしょうか？ごめんなさい。よくわかりません；；
No.17862 - 2012/06/22(Fri) 19:01:06
☆ Re: 文系高校生　相似が分かりません / ヨッシー
三角形に限って言うと、相似な２つの三角形の対応する辺の
比を相似比と言います。
拡大縮小コピーの倍率と理解しても良いでしょう。

No.17859 への回答
>△ABCの中で三角形が作られているので
ではなく、すべて同じ手続き(直角から斜辺に垂線をおろす)で
一回り小さい三角形を作っているので、同じ相似比の三角形が
次々と出来るのです。
△ABCの中でも、でたらめに線を引いたのでは相似になりませんし、
相似比という話も出てきません。

17860 への回答
>相似な三角形を並べただけでは、相似比が同じかどうかわわかりません。
にだけついて言えば、
相似と言っても、相似比は自由に取れるので、?@と?Aの相似比と
?Aと?Bの相似比が同じかどうかわかりません。
ましてや、?@と?Bの相似比が同じとは見るからに言えません。
No.17866 - 2012/06/22(Fri) 22:47:51
☆ Re: 文系高校生　相似が分かりません / ヨッシー
もう一度最初に戻って考えてみます。
△ＡＢＣはＡＣ：ＡＢ＝１：２ で、∠Ａ＝90°の直角三角形です。
これに、ＡからＢＣに垂線を引き交点をＡ1 とします。
このとき　ＡＣ：ＡＡ1＝１：(2/√5) です。
また、△ＡＢＣと△Ａ1ＢＡ は相似（３角相等）で、相似比は
ＡＣ：ＡＡ1＝１：(2/√5) です。(１つめの図)

△Ａ1ＢＡはＡ1Ａ：Ａ1Ｂ＝１：２ で、∠Ａ1＝90°の直角三角形です。
これに、Ａ1からＢＡに垂線を引き交点をＡ2 とします。
このとき　Ａ1Ａ：Ａ1Ａ2＝１：(2/√5) です。
また、△Ａ1ＢＡと△Ａ2ＢＡ1 は相似（３角相等）で、相似比は
Ａ1Ａ：Ａ1Ａ2＝１：(2/√5) です。(２つめの図)

△ＡＢＣと△Ａ2ＢＡ1 の相似比は、１：(2/√5)^2 です。

△Ａ2ＢＡ1はＡ2Ａ1：Ａ2Ｂ＝１：２ で、∠Ａ2＝90°の直角三角形です。
これに、Ａ2からＢＡ1に垂線を引き交点をＡ3 とします。
このとき　Ａ2Ａ1：Ａ2Ａ3＝１：(2/√5) です。
また、△Ａ2ＢＡ1と△Ａ3ＢＡ2 は相似（３角相等）で、相似比は
Ａ2Ａ1：Ａ2Ａ3＝１：(2/√5) です。(３つめの図)

△ＡＢＣと△Ａ3ＢＡ2 の相似比は、１：(2/√5)^3
△Ａ1ＢＡと△Ａ3ＢＡ2 の相似比は、１：(2/√5)^2 です。

△Ａ3ＢＡ2はＡ3Ａ2：Ａ3Ｂ＝１：２ で、∠Ａ3＝90°の直角三角形です。
これに、Ａ3からＢＡ2に垂線を引き交点をＡ4 とします。
このとき　Ａ3Ａ2：Ａ3Ａ4＝１：(2/√5) です。
また、△Ａ3ＢＡ2と△Ａ4ＢＡ3 は相似（３角相等）で、相似比は
Ａ3Ａ2：Ａ3Ａ4＝１：(2/√5) です。(４つめの図)

△ＡＢＣと△Ａ4ＢＡ3 の相似比は、１：(2/√5)^4
△Ａ1ＢＡと△Ａ4ＢＡ3 の相似比は、１：(2/√5)^3
△Ａ2ＢＡ1と△Ａ4ＢＡ3 の相似比は、１：(2/√5)^2 です。

ここまで理解できたら、この先、直角から斜辺に垂線を引く
ことにより出来る一回り小さい三角形は、その直前まで一番小さかった
三角形と １：(2/√5) の関係にあることが理解できるでしょう。
No.17867 - 2012/06/22(Fri) 23:10:34
☆ Re: 文系高校生　相似が分かりません / souzi
回答ありがとうございます。
ヨッシーさんのおかげで理解できたのですが最後に一つだけ。
△ＡＢＣと△Ａ1ＢＡの相似比、△Ａ1ＢＡと△Ａ2ＢＡ1の相似比、・・・と順番に求めていくと相似比が1:(2/√5)となるのでこれ以降も同じように直前の三角形と直後の三角形の関係が相似比1:(2/√5)となるのは予想がつきますが、記述でこの部分を書く場合きちんとした証明のようなものは不要でしょうか？
解答では【△BCA,△BAA[1],△BA[1]A[2]、△BA[2]A[3]、・・・△BA[n-1]A[n]はすべて相似であり、相似比は1:(2/√5)である。】となっていますが、これは上記のような相似比1:(2/√5)の規則性を記述で書いた部分でしょうか？
理解力がないのでなんども質問ごめんなさい。
No.17868 - 2012/06/23(Sat) 00:08:58
☆ Re: 文系高校生　相似が分かりません / ヨッシー
問1で、ＡＡ1＝2/√5 を求めさせているので、問題の主旨としては、
これで、順々に2/√5 倍の三角形が出来ていくと証明したものと
しているのかと思います。
よって、特に証明は必要ないと思います。

つまり、当たり前のように、
　Ａ2Ａ3 は Ａ1Ａ2 の 2/√5 倍
とか使っても良いです。

おまけ↓
No.17869 - 2012/06/23(Sat) 00:18:15