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記事No.17982に関するスレッドです
★ xもyも2次のグラフ / みどり
y^2=x^2(1-x^2)-1/8のグラフを、以下の手順に従って予想しなさい。

(1)y^2=x(0≦x≦1)とy^2=2-x(1≦x≦2)のグラフをxy平面上に描きなさい。

(2)s=t(1-t)-1/8(s≧0,t≧0)のグラフをts平面上に描きなさい。

(3)y^2=t(1-t)-1/8(t≧0)のグラフをty平面上に描きなさい。

(4)y^2=x^2(1-x^2)-1/8のグラフをxy平面上に描きなさい。

(1)と(2)はわかりましたが、(3)と(4)がよくわからないです。(3)のグラフは(2)のグラフを丸めてしかもy軸対称になるそうですが、y軸対称の部分がよくわからないです。
(4)にいたっては全然わからないです。y軸対称でしかもx軸対称にまでなってしまうそうです。sやtをx^2やy^2にすると軸対称のグラフになるのでしょうか？
教えてください。よろしくお願いします。
No.17970 - 2012/07/05(Thu) 18:04:58
☆ Re: xもyも2次のグラフ / ITVISION
>。(3)のグラフは(2)のグラフを丸めてしかもy軸対称になるそうですが、y軸対称の部分がよくわからないです。
t軸対称ではないですか？
y^2=t(1-t)-1/8
移項して整理すると
y^2+t^2-t＝-1/8
y^2+(t-1/2)^2-1/4＝-1/8
y^2+(t-1/2)^2＝1/8＝(√2/4)^2　ですから円になります。

>sやtをx^2やy^2にすると軸対称のグラフになるのでしょうか？
点Ａ(x1,y1)がy^2=x^2(1-x^2)-1/8　上にあれば
点Ｂ(-x1,y1)：Ａとy軸対称
点Ｃ(x1,-y1)：Ａとx軸対称
点Ｄ(-x1,-y1)：Ｂとx軸対称、Ｃとy軸対称
もy^2=x^2(1-x^2)-1/8　上にあります。
y^2　と　x^2(1-x^2)-1/8　に代入して計算すればわかります。

私はグラフの作図や関数の挙動の確認のため
フリーソフトgrapesを使っています。（隠関数のグラフもかけます）
試験や授業では使えませんが、自習結果の確認などに重宝します。
www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/
No.17971 - 2012/07/05(Thu) 19:14:32
☆ Re: xもyも2次のグラフ / みどり
ITVISION様

解説をしてくださってありがとうございました。
(3) はよくわかりました。(4)も軸対称まではよくわかりました。
(4)についてもう少し伺いたいのですが、f(x)が単調増加なら√f(x)も単調増加で、f(x)が単調減少なら√f(x)も単調減少ということはできるんでしょうか？(4)は円をy軸対称に二つ描いたような図形になるんでしょうか？
No.17979 - 2012/07/07(Sat) 17:49:49
☆ Re: xもyも2次のグラフ / ITVISION
> (4)についてもう少し伺いたいのですが、f(x)が単調増加なら√f(x)も単調増加で、f(x)が単調減少なら√f(x)も単調減少ということはできるんでしょうか？
そうですね。y=√x は、x＞0で単調増加ですから

きちんと証明すると
f(x)が単調増加なら
　f(x1)≧0　かつ　x2＞x1　のとき　f(x2)＞f(x1)≧0
　g(x)=√x は、x＞0で単調増加
　よって√f(x2)＞√f(x1)
　したがって√f(x)も単調増加

単調減少も同様


(4)は円をy軸対称に二つ描いたような図形になるんでしょうか？
そうですね、少しゆがんでいます。
No.17980 - 2012/07/07(Sat) 19:22:11
☆ Re: xもyも2次のグラフ / ITVISION
3つのグラフです。
(1)y^2=x(0≦x≦1) 少し範囲外もあります
(3)y^2=t(1-t)-1/8(t≧0)のグラフ　円です　x=tにしてます
(4)y^2=x^2(1-x^2)-1/8のグラフ
No.17982 - 2012/07/07(Sat) 19:37:23