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記事No.17987に関するスレッドです
★
数列
/ あい
引用
この問題教えてください。
よろしくお願いします。
No.17987 - 2012/07/09(Mon) 00:22:38
☆
Re: 数列
/ ヨッシー
引用
ａ1ａ2＝０ より、ａ1＝０ または ａ2＝０
(1)
1) ａ1＝０，ａ2≠０ のとき
ａ3＝ａ2
2
ａ4＝ａ3
2
−|ａ2|＝０
より
ａ3
2
＝|ａ2|＝ａ2
4
ａ2 は実数より、ａ2＝±1
2) ａ2＝０，ａ1≠０ のとき
ａ3＝−|ａ1|
ａ4＝ａ3
2
＝ａ1
より
ａ3
2
＝ａ1＝ａ1
2
よって ａ＝１
以上より、ａ1＝０、ａ2＝±１、ａ3＝１ または ａ1＝１、ａ2＝０、ａ3＝−１
(2)
ａ1＝０、ａ2＝±１、ａ3＝１ のとき
ａ5＝ａ4
2
−|ａ3|＝−１＝ａ2
より、ａ2＝−１
ａ1＝０、ａ2＝−１、ａ3＝１ とし、
ａ[3n-2]＝０，ａ[3n-1]＝−１，ａ[3n]＝１ （ｎ＝１，２，３・・・） ・・・(A)
と推測します。
n=1 のとき、(A) は成り立ちます。
n=k のとき、(A) が成り立つとき、つまり
ａ[3k-2]＝０，ａ[3k-1]＝−１，ａ[3k]＝１
のとき、n=k+1 について考えると、
ａ[3k+1]＝ａ[3k]^2−|ａ[3k-1]|＝１−|−１|＝０
ａ[3k+2]＝ａ[3k+1]^2−|ａ[3k]|＝０−１＝−１
ａ[3k+3]＝ａ[3k+2]^2−|ａ[3k+1]|＝(−１)
2
−０＝１
となり、n=k+1 のときも、(A) が成り立ちます。
以上より、任意の自然数ｎに対して、
ａ[3n-2]＝０，ａ[3n-1]＝−１，ａ[3n]＝１
が成り立ち、ａn は周期３の周期関数となります。
ａ1＝１、ａ2＝０、ａ3＝−１ のとき
ａ[3n-2]＝１，ａ[3n-1]＝０，ａ[3n]＝−１ （ｎ＝１，２，３・・・） ・・・(B)
と推測します。
n=1 のとき、(B) は成り立ちます。
n=k のとき、(B) が成り立つとき、つまり
ａ[3k-2]＝１，ａ[3k-1]＝０，ａ[3k]＝−１
のとき、n=k+1 について考えると、
ａ[3k+1]＝ａ[3k]^2−|ａ[3k-1]|＝(−１)^2−|０|＝１
ａ[3k+2]＝ａ[3k+1]^2−|ａ[3k]|＝１−|−１|＝０
ａ[3k+3]＝ａ[3k+2]^2−|ａ[3k+1]|＝(０)
2
−１＝−１
となり、n=k+1 のときも、(B) が成り立ちます。
以上より、任意の自然数ｎに対して、
ａ[3n-2]＝０，ａ[3n-1]＝−１，ａ[3n]＝１
が成り立ち、ａn は周期３の周期関数となります。
以上より、
ａ1＝０、ａ2＝−１、ａ3＝１ または ａ1＝１、ａ2＝０、ａ3＝−１
No.17989 - 2012/07/09(Mon) 09:19:44
☆
Re: 数列
/ あい
引用
回答ありがとうございます。
(1)1)なのですがなぜ
ａ3^2＝|ａ2|＝ａ2^4
ａ2 は実数より、ａ2＝±1
となるのでしょうか？
2)もなぜ
ａ3^2＝ａ1＝ａ1^2
よって ａ＝１
となるのでしょうか。
No.17991 - 2012/07/10(Tue) 23:51:11
☆
Re: 数列
/ ヨッシー
引用
ａ3^2＝|ａ2|＝ａ2^4 において、
ａ2^4＝|ａ2|^4 なので、ｘ＝|ａ2| とおくと、
ｘ＝ｘ^4
移行して因数分解すると、
ｘ^4−ｘ＝ｘ(ｘ^3−１)＝ｘ(ｘ−１)(ｘ^2＋ｘ＋１)＝０
ｘは実数かつｘ≠０ なので、
ｘ＝|ａ2|＝１ よって、ａ2＝±１
2) の方は ａ1＝ａ1^2 かつ ａ1≠０ より ａ1＝１
です。
No.17993 - 2012/07/11(Wed) 07:05:40
☆
Re: 数列
/ あい
引用
わかりました！
ありがとうございました。
No.18002 - 2012/07/12(Thu) 20:51:51
