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記事No.18107に関するスレッドです

教えてください / えな
この問題教えてください。
よろしくお願いします。

No.18107 - 2012/07/24(Tue) 19:24:49

Re: 教えてください / ITVISION
方針だけ(他の方法もあるかも知れません 特に(3))
(1)fn’を微分して増減と極小値(最小値になります)を調べる。
(2)fn(-1)<0、fn(-1/2)>0を示す。これとfn’>0を使う(fn(-1/2)>0は、 fn(0)>0 でもいいですが(3)で使うので)
(3)fn(-1/2-1/n)<0 を示す。これとfn(-1/2)>0を使う。

まず、fnの微分、fn’の微分(fnの2階微分)はどうなりますか?

No.18108 - 2012/07/24(Tue) 21:59:29

Re: 教えてください / えな
回答ありがとうございます。
fn'(x)=(nx+n+1)e^(nx)+2
fn''(x)=(nx+n+2)ne^(nx)
となりました。

fn'(x)=0となるときがわかりません。

No.18110 - 2012/07/24(Tue) 23:31:45

Re: 教えてください / ITVISION
つぎにfn''(x)=(nx+n+2)ne^(nx)=0となるときを調べます。
nx+n+2=0 より x=-(n+2)/n このときのfn'(x)が極小値であり最小値になります。fn'の増減表で確認してください。

fn'の最小値はいくらになりますか?

>fn'(x)=0となるときがわかりません
fn'(x)=0にはなりません。 問題にもあるようにすべての実数xについてfn'(x)>0です。

No.18111 - 2012/07/24(Tue) 23:49:32

Re: 教えてください / えな
fn'(-(n+2)/n)=-e^{-(n+2)}+2
となりました。
合っているでしょうか…?

No.18112 - 2012/07/25(Wed) 00:31:43

Re: 教えてください / ITVISION
いいと思います。
nが正の整数のとき
fn'(-(n+2)/n)=-e^{-(n+2)} + 2 > 0 は分かりますよね。

No.18113 - 2012/07/25(Wed) 00:41:28

Re: 教えてください / えな
はい、大丈夫です。
No.18114 - 2012/07/25(Wed) 00:44:44

Re: 教えてください / ITVISION
増減表などを使ってきちんと書いてけば(1)は終わりです
(2)は簡単だと思います。
※できるところまでやって不明な点があればお知らせください。
(3)の目星のつけ方
fn(-1)<0、fn(-1/2)>0 より
fn(x)=0 の実数解xnは -1<x<-1/2 にあります。

この区間では、
fn(x)=(x+1)e^nx+2x+1 のうち(x+1)e^nxは nが大きくなるとどんどん絶対値が小さくなり、いくらでも0に近づきます。すなわちfn(x)は2x+1にいくらでも近づきます。

2x+1=0 の解は x=-1/2なので、fn(x)=0の実数解xnも-1/2に近づきそうです。
注)一般的には 関数列 fn → f に一様収束するからといって 「(fn(x)=0 の実数解) → (f(x)=0 の実数解)」というわけではありません。  

No.18115 - 2012/07/25(Wed) 00:52:49

Re: 教えてください / えな
はさみうちを使うようなのですが
どうなるでしょうか…?

No.18151 - 2012/07/26(Thu) 19:16:14

(3)続き / angel
ITIVISIONさんのコメントで、lim x[n] = -1/2 が予想できるところまでは良いでしょうか。
また、-1<x[n]<-1/2 が分かっているため、はさみうちとしては上側は問題ありません。なので、下側をどう見積もるか、というお話になります。

さて。fn(x) は形が複雑なので、fn(x)=0 の解の大きさを見積もるのはそのままでは難しいところです。なので、fn(x)よりも単純な形で、なおかつ x[n] よりやや小さい a[n] で値がゼロになるような関数 gn(x) を作ってあげれば良いのです。

添付の図のように、-1<x<-1/2 の区間で fn(x)<gn(x) を満たすような一次関数gn(x) を定めてあげれば、gn(x)=0 の解 a[n] は、a[n]<x[n] を満たします。
具体的には、gn(x) = (x+1)・e^(n・(-1/2))+2x+1 が良いでしょう。fn(x) の e の指数にあった x を -1/2 に替えただけですが。
後は、e^(n・(-1/2)) そのままだと分かりにくいかも知れないので、これを b[n] とでも置いて a[n] を計算してみましょう。

No.18176 - 2012/07/28(Sat) 11:40:52