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記事No.18107に関するスレッドです
★ 教えてください / えな
この問題教えてください。
よろしくお願いします。
No.18107 - 2012/07/24(Tue) 19:24:49
☆ Re: 教えてください / ITVISION
方針だけ（他の方法もあるかも知れません　特に（３））
（１）ｆn’を微分して増減と極小値（最小値になります）を調べる。
（２）ｆn(-1)＜0、fn(-1/2）＞0を示す。これとｆn’＞0を使う（fn(-1/2）＞0は、　fn(0）＞0　でもいいですが（３）で使うので）
（３）ｆn(-1/2-1/n)＜0　を示す。これとfn(-1/2）＞0を使う。

まず、ｆnの微分、ｆn’の微分（ｆnの２階微分）はどうなりますか？
No.18108 - 2012/07/24(Tue) 21:59:29
☆ Re: 教えてください / えな
回答ありがとうございます。
fn'(x)=(nx+n+1)e^(nx)+2
fn''(x)=(nx+n+2)ne^(nx)
となりました。

fn'(x)=0となるときがわかりません。
No.18110 - 2012/07/24(Tue) 23:31:45
☆ Re: 教えてください / ITVISION
つぎにfn''(x)=(nx+n+2)ne^(nx)＝0となるときを調べます。
nx+n+2＝0　より　ｘ＝-(n+2)/n　このときのfn'(x)が極小値であり最小値になります。fn'の増減表で確認してください。

fn'の最小値はいくらになりますか？

>fn'(x)=0となるときがわかりません
fn'(x)=0にはなりません。 問題にもあるようにすべての実数xについてfn'(x)＞0です。
No.18111 - 2012/07/24(Tue) 23:49:32
☆ Re: 教えてください / えな
fn'(-(n+2)/n)=-e^{-(n+2)}+2
となりました。
合っているでしょうか…？
No.18112 - 2012/07/25(Wed) 00:31:43
☆ Re: 教えてください / ITVISION
いいと思います。
nが正の整数のとき
fn'(-(n+2)/n)=-e^{-(n+2)}　+　2　＞　0　は分かりますよね。
No.18113 - 2012/07/25(Wed) 00:41:28
☆ Re: 教えてください / えな
はい、大丈夫です。
No.18114 - 2012/07/25(Wed) 00:44:44
☆ Re: 教えてください / ITVISION
増減表などを使ってきちんと書いてけば（１）は終わりです
（２）は簡単だと思います。
※できるところまでやって不明な点があればお知らせください。
（３）の目星のつけ方
ｆn(-1)＜0、fn(-1/2）＞0　より
ｆn(ｘ)＝0　の実数解ｘnは　-1＜ｘ＜-1/2　にあります。

この区間では、
ｆn(x)＝(x+1)e^nx+2x+1 のうち(x+1)e^nxは　nが大きくなるとどんどん絶対値が小さくなり、いくらでも0に近づきます。すなわちｆn(x)は2x+1にいくらでも近づきます。

2x+1＝0　の解は　x=-1/2なので、ｆn(x)＝0の実数解ｘnも-1/2に近づきそうです。
注）一般的には　関数列　fn　→　ｆ　に一様収束するからといって　「（fn（x)＝0　の実数解）　→　（f（x)＝0　の実数解）」というわけではありません。　　
No.18115 - 2012/07/25(Wed) 00:52:49
☆ Re: 教えてください / えな
はさみうちを使うようなのですが
どうなるでしょうか…？
No.18151 - 2012/07/26(Thu) 19:16:14
☆ (3)続き / angel
ITIVISIONさんのコメントで、lim x[n] = -1/2 が予想できるところまでは良いでしょうか。
また、-1＜x[n]＜-1/2 が分かっているため、はさみうちとしては上側は問題ありません。なので、下側をどう見積もるか、というお話になります。

さて。fn(x) は形が複雑なので、fn(x)=0 の解の大きさを見積もるのはそのままでは難しいところです。なので、fn(x)よりも単純な形で、なおかつ x[n] よりやや小さい a[n] で値がゼロになるような関数 gn(x) を作ってあげれば良いのです。

添付の図のように、-1＜x＜-1/2 の区間で fn(x)＜gn(x) を満たすような一次関数gn(x) を定めてあげれば、gn(x)=0 の解 a[n] は、a[n]＜x[n] を満たします。
具体的には、gn(x) = (x+1)・e^(n・(-1/2))+2x+1 が良いでしょう。fn(x) の e の指数にあった x を -1/2 に替えただけですが。
後は、e^(n・(-1/2)) そのままだと分かりにくいかも知れないので、これを b[n] とでも置いて a[n] を計算してみましょう。
No.18176 - 2012/07/28(Sat) 11:40:52