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記事No.18464に関するスレッドです
★ 等角数列 / unknown
こんにちは中学生です。
進学校なので高校の範囲も一応出来ます。
次の問題の解法と解説をお願いします。


点ABCDEFで構成されている正6角形がある。
それぞれの点が次のように移動する時、
点Aが点Bと重なるまでの移動距離を求めよ

点Aは点Bに向かって進む
点Bは点Cに向かって進む
点Cは点Dに向かって進む
点Dは点Eに向かって進む
点Eは点Fに向かって進む
点Fは点Aに向かって進む。

ただし、最初の地点で点Aと点Bとの距離を
1000とおく
No.18459 - 2012/09/02(Sun) 15:18:37
☆ Re: 等角数列 / IT
常に移動する目標（AならB）に向かって、常に向きを変えていくのなら下記のようになるようです「追跡曲線」で検索できます。

これなど参考にされてはどうでしょう。
http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-naga005/pc-mathekyouzai001/tuisekikyokusen015soft.pdf
県立高校理数科２年生のレポートです。
No.18460 - 2012/09/02(Sun) 17:41:03
☆ Re: 等角数列 / IT
点Aと点Bとの距離 L
１回の移動距離を x
１回の移動後の点Aと点Bとの距離 L１とおくと

余弦定理より
（L１）^2= (L-x)^2 + x^2 -2(L-x)xcosθ
これを整理すると
L１＝√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ))

近づいた距離　L - L1 ＝　L −　√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ))
近づいた距離／移動した距離 ＝(L−√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ)))/x
=(L-√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ)))(L+√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ)))/(L+√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ)))x
=(L^2 - (L^2-2(L-x)x(1+cosθ)))/(L+√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ)))x
=2(L-x)(1+cosθ)/(L+√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ)))
→ 2L(1+cosθ)/(L+√(L^2))= 1+cosθ
（x→0のとき）

正6角形の場合はθ＝120°、cosθ＝-1/2
近づいた距離／移動した距離＝1+cosθ＝1/2
移動した距離＝近づいた距離＊２
よって点Ａと点Ｂが重なるとき　移動した距離＝Ｌ＊２＝2000（元の問題の場合）

一般的な正多角形の場合で考えましたが
本問の場合、最初からcosθ＝-1/2とした方が記述量は少なくてすみます。

余弦定理（数１）と極限（数２）を使いました。

ポイントとなると思われる（近づく距離）／（移動距離）についてのみ計算しました。
　
　
No.18464 - 2012/09/02(Sun) 21:10:06
☆ Re: 等角数列 / IT
数列的な議論(略解）
ｎ回移動後のＡとＢの距離をＬ[n]、Ｌ[0]＝Ｌ(質問の場合は1000）。
ｎ回目の移動距離ｄ[n]は移動前の距離Ｌ[n-1]のｘ倍（０＜ｘ＜１）すなわちｄ[n]＝ｘＬ[n-1]…?@。（等角）
であるとする

Ｌ[n+1]＝ｙＬ[n] となるyがとれる
　じっさい余弦定理より
　ｙ^2=x^2+(1-x)^2-2x(1-x)cosθ=1-2x(1-x)(1+cosθ)
　ｙ=√{1-2x(1-x)(1+cosθ)}　
　　0＜ｙ＜1,lim[x→0]ｙ＝1に注意

Ｌ[n+1]＝(ｙ^n)Ｌ…?A
　lim[n→∞]Ｌ[n]=lim[n→∞](ｙ^n)Ｌ=0,

?@、?Aより
ｄ[n]＝x(ｙ^(n-1))Ｌ

よって、AがBに重なるまでの移動距離の合計は
Σ[n=1,∞]ｄ[n]=xＬΣ[n=1,∞] (ｙ^(n-1))
　　　=xＬ／(1-ｙ)
　　　=x(1+ｙ)Ｌ／(1-ｙ)(1+ｙ)
　　　=x(1+ｙ)Ｌ／(1-ｙ^2)
　　　=x(1+ｙ)Ｌ／2x(1-x)(1+cosθ)
　　　=(1+ｙ)Ｌ／2(1-x)(1+cosθ)
　　　→Ｌ／(1+cosθ)　(x→0)
No.18468 - 2012/09/02(Sun) 23:06:03