サイコロを２回投げて１回目と２回目に出る目をそれぞれx,yとする。
(1)x^2-7x+11<y<-x^2+7x+8となる確率を求めよ。
(2)x^2-7x+11<y<-x^2+7x+bとなる確率が1/2となる定数bの値の範囲を求めよ。
(1)はx=1〜6の値をとりうるのでx=1のときx=2のとき・・・というふうに代入していって不等式として成り立つもののなかで1≦y≦6のうち満たすyの個数を数えて確率を求めればいいですよね？
(2)は考え方すらわかりません。
どうやって解けばいいんでしょうか？
IAIIBの範囲内で解き方を教えて下さい。お願いします。
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No.18620 - 2012/09/16(Sun) 14:28:01
| ☆ Re: 文系確率 / IT | | | 横から失礼します。
グラフも有効ですが、人によっては、表を作ってカウントするのがはやいかも。x^2-7x は x(x-7) としたほうが計算が楽ですね。
x, x(x-7), x(x-7)+11, -x(x-7)+b を表にすると
1, -6, 5, 6+b
2, -10, 1, 10+b
3, -12, -1, 12+b
4, -12, -1, 12+b
5, -10, 1, 10+b
6, -6, 5, 6+b
n(m)：x=mのときのyの個数を表すことにする。
n(1)=n(6),n(2)=n(5),n(3)=n(4)なので
n(1)+…+n(6)=18 ⇔ n(1)+n(2)+n(3)=9
n(1)は５＜ ＜6+b に入る１から６までの整数の個数なので0か1
n(1)＝1のとき n(2)＝5、n(3)=6 不適
よってn(1)＝0 すなわち、n(2)+n(3)＝9 である
表からn(3)=min(n(2)+3,6)
よってn(2)=3,n(3)=6
n(2)=3になるには
1＜ ＜10+b に ２、３、４が入れば良い（必要十分条件）
よって ４＜10+b ≦５
すなわち -６＜b≦-５
>解答時間の目安が(1)(2)併せてベストが5分以内
上記でも記述不足の点があります。
5分以内で完答だと難関大レベルでしょうね。
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No.18632 - 2012/09/16(Sun) 18:30:32 |
| ☆ Re: 文系確率 / IT | | | > ITさんの解答にある
> 「x, x(x-7), x(x-7)+11, -x(x-7)+b を表にすると」の部分なんですがx(x-7)はどこからきたんでしょうか？
x^2-7x+11 や -x^2+7x+b の x^2-7x、-x^2+7xの部分です。（単に計算を楽にするためのものです、元の式のままでもかまいません）
> 個数というのは曲線上の格子点のことなんでしょうか？
私の解法の場合は、まったくグラフを使いませんので「曲線」や「格子点」を意識しないでください。
不等式x^2-7x+11<y<-x^2+7x+bを満たす 整数ｙ∈{1,2,3,4,5,6}の個数のことです。
（ｘ、ｙとも整数なので格子点ともいえますが「曲線上」の格子点ではありません。強いて言えば「２つの曲線間」の格子点しかもy=1,2,3,4,5,6です。）
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No.18641 - 2012/09/16(Sun) 22:49:49 |
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