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記事No.18816に関するスレッドです

四角形が存在する条件?文系です。 / よすがら
問題)
四角形ABCDにおいて、
AB=BC=1、CD=2、DA=x、角ABC=θ
とする。このとき四角形ABCDに外接する円があるようにしながら、
辺DAの長さxをさまざまに変えたとき、cosθの取りうる値の範囲を求めよ。

解答)
四角形ABCDが存在するための条件から、
DC-CB-BA<AD<DC+CB+BA
∴2-1-1<x<2+1+1
∴0<x<4
(逆に、これを満たすどんなxに対しても、四角形ABCDの対角の和A+C、B+Dをそれぞれ180度に等しく出来るので、この四角形に外接する円を取ることが出来る)
以下略

解答を読んでもさっぱり意味がわかりません。
なんで0<x<4という条件を満たせば外接する円を取れるんですか?
また、四角形ABCDが存在するための条件が、
DC-CB-BA<AD<DC+CB+BAなのも全く分かりません。これは何かの定理なんでしょうか?
ヒントの所には
「DA + AB + BC = CD のとき点D 、点A 、点B 、 点C は一直線上になり、四角形とならない」とあるのですがこの意味もさっぱりです。
どなたか分かる方教えて下さい。
おねがいします。

No.18814 - 2012/10/07(Sun) 16:14:42

Re: 四角形が存在する条件?文系です。 / よすがら
少し考えてみたんですけど
「DA + AB + BC = CD のとき点D 、点A 、点B 、 点C は一直線上になり、四角形とならない」ということは画像のようにはならないということんでしょうか?

No.18816 - 2012/10/07(Sun) 16:22:59

Re: 四角形が存在する条件?文系です。 / ヨッシー
3辺が 1cm, 1cm, 2cm の三角形が作れないのと同じ理由です。
No.18817 - 2012/10/07(Sun) 16:37:09

Re: 四角形が存在する条件?文系です。 / らすかる
よすがらさんの図で、
CからDまでの距離が3なので
CからB,Aを経由してDまで行ったら3より大きくなるはずですね。

No.18818 - 2012/10/07(Sun) 17:21:57

Re: 四角形が存在する条件?文系です。 / よすがら
回答ありがとうございます。
自分なりに考えてみたのですがとりあえずABCDが四角形になるように図を描きます。
ここから四角形ABCDが三角形にならないためには
AB+BC>CAかつCB+CD>BDかつDA+CD>CAかつAB+AD>BDが成り立てばいいと思うのですがこれが四角形ABCDが存在するための条件としてはだめなんでしょうか?
もう本当にわからなくて自分の頭の悪さに腹立ちます。
誰か分かる方教えて下さい。お願いします><

No.18819 - 2012/10/07(Sun) 20:44:26

Re: 四角形が存在する条件?文系です。 / ヨッシー
DA=x の値として、0以下というのはあり得ないし、
4以上になると、AB+BC+CD を超えてしまうので、
「届かな〜い」の状態になり、四角形は存在しない。
さらに、0<x<4 であれば、四角形を作ることが出来、
しかも、角度をうまく調整すると、円に内接する四角形にすることが出来る。
までが、模範解答で述べられています。

ですから、これ以上、辺の大小について吟味することは
必要ありません。

No.18820 - 2012/10/07(Sun) 21:03:27

Re: 四角形が存在する条件?文系です。 / よすがら
ありがとうございます。
かなり納得できたのですが一つだけひっかかります。
この四角形が存在する条件は
三角形の成立条件を二回使って
AD<AB+BD<AB+BC+CDー?@
DC<BD+BC<AB+AD+BCー?Aと表せるそうです。
ですがこの式の意味がいまいち理解しにくいです。
もうAB+BC+CD>xつまり4>xであれば少なくとも四角形をつくることができ、x>0とより0<x<4であれば四角形ABCDは存在する。という記述でもいいんでしょうか?
最後にこの点に関して教えて下さい。お願いします。

No.18821 - 2012/10/07(Sun) 21:34:27

Re: 四角形が存在する条件?文系です。 / ヨッシー
つまり、3辺の和が残りの1辺よりも大きければ、四角形が出来ると言うことですよね?

途中の式は
 AD<AB+BD
 BD<BC+CD
より
 AD<AB+BD<AB+(BC+CD) ・・・?@

 DC<DB+BC
 BD<BA+AD
より
 DC<BD+BC<(AB+AD)+BC ・・・?A
です。

>AB+BC+CD>xつまり4>x
はOKですが、x>0 の方は、上にもあるように
>DC-CB-BA<AD
という記述が必要です。
辺の長さだから、x>0 というわけではありません。
(もし、CD=3 だと x=0.5 のように、1より小さいx
では、四角形が出来ません)

No.18822 - 2012/10/07(Sun) 22:39:40

Re: 四角形が存在する条件?文系です。 / よすがら
ありがとうございました
No.18831 - 2012/10/08(Mon) 17:47:04