自然数kに対して、3辺の長さがkx,ky,x^2+y^2の三角形を考えるとき、次の各問に答えよ。
(1)三角形の周の長さLのとりうる値の範囲をkで表せ。
(2)x,yを自然数とし、x,yの値の組の数をNとするとき、N≦k^2-1が成り立つことを示せ。また、k=10のとき、Nの値を求めよ。
(1)
L=kx+ky+x^2+y^2=(x+k/2)^2+(y+k/2)^2-k^2/2
(x+k/2)^2+(y+k/2)^2=L+k^2/2ー?@より、√(L+k^2/2)はxy平面において中心(-k/2,-k/2)の円の半径である。
三角形の成立条件より、
kx+ky>x^2+y^2かつkx+x^2+y^2>kyかつky+x^2+y^2>kx
⇔(x-k/2)^2+(y-k/2)^2>k^2/2ー?Aかつ(x+k/2)^2+(y-k/2)^2>k^2/2ー?Bかつ(x-k/2)^2+(y+k/2)^2>k^2/2ー?C
xy平面において、?@が?A,?B,?Cをみたすような?@の半径の範囲は、k/√2<√(L+k^2/2)<3k/√2
∴ 0<L<4k^2
(2)についてですが、Nは(1)の?A,?B,?Cを満たす領域における格子点の数のことですか?
間違っているなら方針だけ教えて欲しいです。
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No.18975 - 2012/10/19(Fri) 05:35:50
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