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記事No.18995に関するスレッドです
★ 軌跡と領域 / なるみ
問題
座標平面上の点P(x,y)を、x=t+s、y=t^2+sで定める。
t、sが-1≦t≦1、-1≦s≦1の範囲を満たしながら動くとき、Pの描く図形を図示しなさい。

sを消去して、y=x+t^2-t(t-1≦x≦t+1)となったので、A(t-1,t^2-1)、B(t+1,t^2+1)を両端とする線分ABの動く範囲を考えることになると思いました。-1≦t≦1なので、A(-2,0)、B(0,2)を両端とする場合からA(0,0)、B(2,2)を両端とする場合まで線分を平行移動させればいいので答えは台形になると思いましたが、解答は全然違う図形になっていまして、どうして間違えているのかと、どうして解答のような図になるのかがわからないです。
問題のヒントに、「sを動かすためにsを消去する」という一文があるのですが、文字を動かすことと文字を消去することに何の関係があるのですか。文字が消えたら動かすも何も関係がなくなっていく気がするのですが。
どうか教えてください。よろしくお願いします。
No.18991 - 2012/10/19(Fri) 21:59:49
☆ Re: 軌跡と領域 / angel
> sを消去して、y=x+t^2-t(t-1≦x≦t+1)となったので、

これは正しいです。
が、この後は t を動かしてみて、ある x に対して y がどの範囲に収まるかを考えることになりますから、

　y = x+(t^2-t) ( x-1≦t≦x+1 かつ -1≦t≦1 )

とします。元からある t の条件 -1≦t≦1 も明記しました。

そうすると、「x-1≦t≦x+1 かつ -1≦t≦1」という t の範囲は一体…? という話になります。これは x の値によって状況が変わりますから、場合分けが必要になります。
例えばですが、x=1.5 であれば 「0.5≦t≦2.5 かつ -1≦t≦1」⇔0.5≦t≦1 ですね。で、この時は -0.25≦t^2-t≦0 ですから、結果として 1.25≦y≦1.5 ということです。

この場合分けですが、t のことだけ考えるなら
　-2≦x＜0 … -1≦t≦x+1
　0≦x≦2 … x-1≦t≦1
の2通りだけ ( x＜-2 や x＞2 は最初から除外 ) でO.K.です。
が、(t^2-t) の形の最大・最小の具合を考えると、

　-2≦x＜-1/2 … -1≦t≦x+1, x+1＜1/2
　-1/2≦x＜0 … -1≦t≦x+1, 1/2≦x+1＜1
　0≦x＜1 … x-1≦t≦1, x-1＜0
　1≦x＜3/2 … x-1≦t≦1, 0≦x-1＜1/2
　3/2≦x≦2 … x-1≦t≦1, x-1≧1/2

の5通りの場合分けが必要です。
例えば2番目のケース ( -1/2≦x＜0 ) であれば、t=1/2 の時 (t^2-t)最小、t=-1の時 (t^2-t)最大となりますから、x-1/4≦y≦x+2 といった具合になります。
No.18992 - 2012/10/19(Fri) 23:39:29
☆ Re: 軌跡と領域 / IT
イメージだけ
sを固定して考えると
s=0 のとき　y = x^2 (-1≦x≦1)ですから 放物線の一部です。

sが変化すると　x,y共にsずれていきます。
（下図を参照）
　　　　
No.18993 - 2012/10/20(Sat) 00:21:55
☆ Re: 軌跡と領域 / IT
tを固定して考えると
t＝０のとき　x=s,y=s　より x=y , -1≦s≦1より-1≦x≦1なので　線分x=y(-1≦x≦1)となります
tを動かすと　xはｔ、yはt^2変化します。
（下図を参照）　もちろん結果は前記と同じです。
No.18995 - 2012/10/20(Sat) 18:58:42