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記事No.19189に関するスレッドです
★ (No Subject) / ｃｐ８
ジョルダン標準形にした行列があるのですが、それのｎ乗ってのはどうやって求めればいいのでしょうか？
No.19157 - 2012/11/07(Wed) 21:49:28
☆ Re: / ｃｐ８
行列の対角線がλ１、λ１、λ２の場合（二つ目のλ１の上の成分は１）
行列の対角線がλ１、λ１、λ２の場合（２つの目のλ１の上、λ２の上の成分が１）
の２パターンについて教えてください。
行列の説明はＰＣ上ではかなりやりにくいとは思いますがよろしくお願いします
No.19168 - 2012/11/08(Thu) 21:19:14
☆ ジョルダン標準形のn乗 / angel
行列を文字で表すのは難しいので、行列の数式を図にして添付しました。そちらと見比べながら読んでください。

で、結局のところ、ジョルダン標準形は「ジョルダンセル」の直和なので、そのn乗はそれぞれのジョルダンセルのn乗の直和になります。これは添付の数式の(1)を見た方が早いですね。

そうすると、ジョルダンセルのn乗がどうなっているか、そこさえ分かれば後はつなげるだけで良い訳です。ジョルダンセルのn乗の例としては、添付の数式の(2)があります。
そうすると、cp8さんの挙げた最初のパターンについては、添付の数式(3)で計算できることが分かります。
※後のパターンは、そもそもジョルダン標準形になっていないように見えるので、今回は割愛しました。

最後に。ではジョルダンセルのn乗の一般形は、というところを計算すると、添付の数式(4)のようになるはずです。なぜこうなるかは、実際に計算して、帰納法で確かめてみてください。
ちなみに、数式中のJ(λ,k)というのは k次正方行列のジョルダンセルを表しています。
なお、この結果は n≧k-1 の場合に成立することに注意してください。nが小さい場合は、右上の方に0の要素が残る結果になります。
No.19189 - 2012/11/10(Sat) 12:36:39