どのような三角形に対しても各辺上に1つずつ頂点を持つ正三角形を作ることができることを示せ。
三角形をOABとして、↑OA=↑a,↑OB=↑bとし、OA上に点Pを、OB上に点Rを、AB上に点Qを、それぞれ↑OP=s↑a,↑OR=t↑b,↑OQ=(1-u)↑a+u↑b,(s,t,uはそれぞれ、0<s<1,0<t<1,0<u<1を満たす実数)としてとったとき、|↑PR|=|↑RQ|かつ|↑PR|=|↑PQ|を満たすようなs,t,uが存在すればよい。
以下、|↑a|=a,|↑b|=bとして表します。
|↑PR|^2=|↑RQ|^2より、
a^2{s^2-(1-u)^2}+b^2{t^2-(u-t)^2}-2↑a↑b{st+(1-u)(u-t)}=0ー?@
|↑PR|^2=|↑PQ|^2より、
a^2{s^2-(1-u-s)^2}+b^2(t^2-u^2)-2↑a↑b{st+(1-u-s)u}=0ー?A
?@、?Aが成り立つための必要条件は
s^2-(1-u)^2=0 かつ t^2-(u-t)^2=0 かつ st+(1-u)(u-t)=0 かつs^2-(1-u-s)^2=0 かつ t^2-u^2=0 かつ st+(1-u-s)u=0である。
見てわかるように上の式をすべて満たすs,t,uは存在しません。
どこが間違っているのですか?
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No.19212 - 2012/11/13(Tue) 20:37:16
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