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記事No.19293に関するスレッドです
★ 積分の問題ですm(_ _)m / 高校三年生
少しでもいいので、よろしければ解説お願いします。
No.19293 - 2012/11/21(Wed) 16:23:14
☆ Re: 積分の問題ですm(_ _)m / X
(1)
条件の通りL,M,P,Qを描いてみると、問題の交点のy座標が
最大になる場合は線分PQが
y≧xかつy≧-x (P)
の領域に存在する場合と考えられます。そこで
P(s,s),Q(t,-t)
(但しs≧0,t≦0 (A))
と置くと
OP=t√2
OQ=-s√2
これを
OP+OQ=√2
に代入して
s-t=1 (B)
次に線分PQの方程式は
y={(s+t)/(s-t)}(x-s)+s (C)
(但しt≦x≦s (D))
(B)より
s=t+1 (B)'
これと(A) から
-1≦t≦0 (E)
(B)'を(C)に代入して
y=(2t+1)(x-t-1)+t+1
整理して
2t^2+2(1-x)t+y-x=0 (F)
(D)の範囲でtの二次方程式(F)が実数解を持つ条件を
求めます。
f(t)=2t^2+2(1-x)t+y-x
と置いて横軸にt、縦軸にf(t)を取ったグラフを考えます。
ここでf(t)の軸の方程式は
t=(x-1)/2
となりますが(B)'(D)(E)より少なくとも
-1≦x≦1
∴-1≦(x-1)/2≦0
つまりf(t)の軸は(E)の範囲内にあることが分かります。
よって求める条件は(F)の解の判別式をDとしたとき
D/4=(1-x)^2-2(y-x)≧0 (G)
又
f(0)=y-x≧0 (H)
f(-1)=y+x≧0 (I)
(G)(H)(I)より
y≦(1/2)x^2+1/2 (G)'
y≧x (H)'
y≧-x (I)'
(G)'(H)'(I)'(P)を図示することにより求める最大値は
(1/2)a^2+1/2
となります。

(2)
(1)の過程から領域
y≦(1/2)x^2+1/2かつy≧xかつy≧-x (Q)
はSの一部となります。
これを求める過程と同様の方針を
(II)y≦xかつy≦-x
(III)y≦xかつy≧-x
(IV)y≧xかつy≦-x
の領域に関して考えると、対称性からSは
領域(Q)を原点中心で90°の回転移動を３回繰り返して
できる３つの領域と(Q)との和集合の形になります。
これらを元にSを不等式で表すと
{y≦(1/2)x^2+1/2かつy≧xかつy≧-x}
又は
{y≧-(1/2)x^2-1/2かつy≦xかつy≦-x}
又は
{x≦(1/2)y^2+1/2かつy≦xかつy≧-x}
又は
{x≧-(1/2)y^2-1/2かつy≧xかつy≦-x}
となります。(図示してみましょう)
(注：不等式の形はもう少し簡単になるかもしれません。)

(3)
(2)で論じた対称性により求める面積は(Q)の面積の4倍
となります。
更に(Q)はy軸に関して対称ですので求める面積をTとすると
T=8∫[0→1]{(1/2)x^2+1/2-x}dx=4/3
となります。
No.19300 - 2012/11/21(Wed) 20:19:37
☆ (No Subject) / 高校三年生
ありがとうございましたm(_ _)m
No.19303 - 2012/11/21(Wed) 23:05:49