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記事No.19434に関するスレッドです
★ 大学受験数学(整数と整式) / ハオ
nを自然数とする時3^(n+1) + 4^(2n-1)は13で割り切れることを証明せよ.

という問題を気まぐれで解いてみたのですが画像の様な方法でしっかりと証明できているでしょうか？
具体的には普通数学的帰納法と言うとn=1で確認n=kで仮定してn=k+1の時も成り立つ事を確認だと思うのですが、それの少し段階が多い画像のような方法も有りなのでしょうか？
ご指導お願い致します。

ここに数式を打つのは骨が折れるので画像にて失礼させて頂きます.
No.19434 - 2012/12/18(Tue) 13:14:50
☆ Re: 大学受験数学(整数と整式) / ヨッシー
ありです。
数学的帰納法でやるなら、こういう方法になるでしょう。

他には、合同式を知っていれば、その表記法が楽ですが、
そうでない場合は、
m(x) を x を13で割った時の余り、
f(n) を 3^(n+1) を13で割った時の余り、
g(n) を 4^(2n-1) を13で割った時の余り　とすると、
　f(1)＝9, f(2)＝m(9×3)＝1, f(3)＝3, f(4)＝9
となるので、自然数m について
　f(3m-2)＝9, f(3m-1)＝1, f(3m)＝3
また
　g(1)＝4, g(2)＝m(4×16)＝12, g(3)＝m(12×16)＝10
　g(4)＝m(10×16)＝4
となるので、自然数m について
　g(3m-2)＝4, f(3m-1)＝12, f(3m)＝10
となり、
　f(3m-2)+g(3m-2)＝9＋4＝13
　f(3m-1)+g(3m-1)＝1＋12＝13
　f(3m)+g(3m)＝3＋10＝13
となり、任意の自然数ｎについて、
　f(n)＋g(n)＝13 となり、
3^(n+1)＋4(2n-1) は、13で割り切れます。

と、ゴリゴリ書く方法もあります。
No.19435 - 2012/12/18(Tue) 14:35:54
☆ Re: 大学受験数学(整数と整式) / ハオ
回答有難う御座います.
ヨッシーさんが教えてくださった別解はなるほどと思いました.
色々な解法があって面白いなとも思いました.

ところでその別解を思いつく(その別解で行こうと考える)のは余りが早い段階でループする事に気付くことが重要だと思うのですが,階乗の余りはどんな場合でも比較的早くループするのでしょうか？
No.19436 - 2012/12/18(Tue) 14:49:17
☆ Re: 大学受験数学(整数と整式) / ハオ
すいません間違えました
No.19436の最後の行の>階乗
は累乗です
No.19437 - 2012/12/18(Tue) 14:51:01
☆ Re: 大学受験数学(整数と整式) / ヨッシー
累乗＝同じ数を掛ける　ですから、あるところで同じ余りが出てきたら、
その先は繰り返しになります。

この場合は、13で割りますから、余りは割り切れない限り
1〜12 の12個の数のいずれかになりますので、最大13回目には、
どれかの数字が重複し、それ以降が繰り返しとなります。
No.19438 - 2012/12/18(Tue) 16:10:06
☆ Re: 大学受験数学(整数と整式) / ハオ
まずは回答有難う御座います.
すいません少し僕の言葉が足りなかった様です.

「比較的早く」というのはせいぜい3,4回でという意味です.
13の剰余を考えているから0〜12の余りで最大で13回目にはループに入るというのは分かるのですが,
例えばこの問題が仮に12回目でループに入るとしたら少々計算がだるくなる気がするのです.

?@13の剰余だからせいぜい13回の計算だし試しにやってみるか
→おぉ案外早くループしたな
というのと
?Aこの問題は恐らく早めにループするな→やはり3回程度でループしたか
のどちらなのでしょうか？
もし?Aの場合でしたら何か見分け方があるのでしょうか？
長々申し訳ありません.
No.19439 - 2012/12/18(Tue) 17:29:09
☆ Re: 大学受験数学(整数と整式) / ヨッシー
最初は、13回までは覚悟しましたよ。

ですから?@ですね。
No.19440 - 2012/12/18(Tue) 17:36:54
☆ Re: 大学受験数学(整数と整式) / ハオ
なるほどです.
ご指導して頂き有難う御座います.

ところで,これからも質問させて頂きたいと考えているのですが解決した記事は削除した方が宜しいのでしょうか？
つまり単発の質問を何個も立てられたらヨッシーさんやその他の利用者の方々に迷惑な気がするのです.
No.19441 - 2012/12/18(Tue) 17:41:51
☆ Re: 大学受験数学(整数と整式) / ヨッシー
消さないでください。

他の人の参考になるかも知れませんし、何年か先に私自身も
参照したくなるかも知れませんので。
No.19442 - 2012/12/18(Tue) 18:06:21
☆ Re: 大学受験数学(整数と整式) / ハオ
ヨッシーさん回答有難う御座います
承知いたしました.
No.19443 - 2012/12/18(Tue) 20:56:52