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記事No.19454に関するスレッドです
★ 不等式 / 工学部2年
x>0のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
e^x>x^2/2

解答
y=e^x-x^2/2
y'=e^x-x
y'=0となるのは
e^x-x=0
となるとことまではわかったのですがこの方程式を解くことができません．
教えていただけないでしょうか
No.19452 - 2012/12/19(Wed) 21:44:20
☆ Re: 不等式 / ハオ
興味本位で解いたので間違っているかもしれません.
何かの足しになればと思い書き記します.

まずe^x-x=0の解はx>0の範囲で無いと思われます.
y'で分からなければy''を考えてみるとよいと思います.
そして増減表を2つ書けば解決かと思います.
No.19453 - 2012/12/19(Wed) 22:04:49
☆ Re: 不等式 / ハオ
具体的にはこの様な感じの証明は如何でしょうか？
論証不充分でしたり,致命的欠陥があるかもしれませんので参考程度にお考え下さい.
No.19454 - 2012/12/19(Wed) 22:12:16
☆ Re: 不等式 / ast
先の質問でもそうですが, そもそも増減表を書くときに本質的に考えるべきは導函数に符号変化があるかどうかである, ということをまずは理解すべきでしょう. 受験数学などで典型的なパターンだと真っ先に零点を求めているのは, 零点が求められるなら符号変化は安直に分かるからです.

y'=e^x-x は x > 0 で符号変化を持ちません. 実際, 再度微分すれば e^x-1 は x > 0 で常に正ですから, y' の様子は x=0 での値を見るだけで十分わかります.

なお e^x をテイラー展開すれば e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+…… となります. これを用いたもののほうが「大学生らしい」のかもしれません.
No.19455 - 2012/12/19(Wed) 22:12:57
☆ Re: 不等式 / ast
おっと, 蛇足だったようです.
No.19456 - 2012/12/19(Wed) 22:14:32
☆ Re: 不等式 / 工学部2年
詳しく説明していただきありがとうございます．
おかげで理解することができました．
No.19457 - 2012/12/19(Wed) 22:22:33