a,b,cはa<b<cを満たす自然数とし、xy平面上に4直線
y=ax, 2x+3y=2, y=0, bx+y=0,
がある。この4直線によって囲まれる4角形が円に内接するとき、外接円の半径が最小になるようなa,b,cの値を求めよ。
xy平面上でy=ax, 2x+3y=2, y=0, bx+y=cの4直線で囲まれる四角形は、a,b,cが自然数なのでy=axの傾きは1以上、bx+y=cの傾きは-1位下でy切片は1以上であり、x軸との交点のx座標がc/bで1より大きい(∵ b<c)ことを考えると、下図の斜線部のようになる。
y=ax, bx+y=c, 2x+3y=2の傾きをそれぞれ、a=tanα, -b=tanβ, -2/3=tanγとおくと
tan∠QPS=tan(β-α)=-(a+b)/(1-ab), tan∠QRS=tanγ=-2/3
y=axとbx+y=cの交点をP, y=axと2x+3y=2との交点をQ, 2x+3y=2とx軸との交点をR, bx+y=cとx軸の交点をSとすると、四角形PQRSが円に内接することから
∠QPS+∠QRS=πとなればよい。
∴ tan(∠QPS+∠QRS)=tanπ=0
⇔ 2ab-3a-3b-2=0
これを変形して
(2a-3)(2b-3)=13
a,bは自然数だから、(2a-3,2b-3)=(1,13),(13,1)
a<bより、(a,b)=(2,8)
cの値の求め方について質問です。
四角形PQRSの外接円の中心をO(X,Y)として、OQ=OR=OSからX,Yの値をcで表し、OQをcの関数として表して最小値を求めようと思ったのですが、OQは、分母がcの2次式、分子がcの4次式で、それにルートがかかっているという結構面倒なかたちになって、微分して求めるのは相当大変だと思います。
図から、cが大きくなると外接円の半径も大きくなり、よって四角形PQRSが存在するようなcの最小値、すなわち、c/b=c/8=2でc=16 というのも考えてみたのですが自信がありません。
何かいい方法はありますか？
それともa,bの段階で間違っているのでしょうか？
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No.19593 - 2012/12/29(Sat) 02:19:21
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