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記事No.19809に関するスレッドです
★ 上限が存在しない例 / ハオ
画像にて失礼します。
添付画像の最後の行にあります
「ここでε＞0は任意だからs^2≦2となる」は感覚的には分かるのですが証明が必要と思い、証明を書いてみたのですが何か間違っているところや論証不十分な点がございましたらご指導お願い致します.
No.19806 - 2013/01/15(Tue) 00:00:36
☆ Re: 上限が存在しない例 / ハオ
その証明です.

これは、ある参考書を写している途中なのですが「自分が本当にそう言えるのかな？」と疑問に思ったら証明を書こうとするのは愚かでしょうか？
つまり、参考書では自明としているのだから自明なのであって、その自明の事実を自明と気付かない僕は頭が悪いのでしょうか？
というか自明ってどこまでが自明なのでしょうか・・・
漠然とした質問で申し訳ないのですが、何かアドバイス頂けたら幸いです
No.19807 - 2013/01/15(Tue) 00:06:51
☆ Re: 上限が存在しない例 / ぽけっと
・ハオさんの証明には意味不明な記述があります。
{ s^2 | 0<s^2<2+2sε-ε^2 } = ・・・
という等号に関してですが、左辺はεに依存する集合なのに右辺がそうでないのはおかしいです。言いたいことが分からなくはないですが・・・

・supAがQ内に存在しないことの証明ですが、
「s>s-ε>0となるε>0を取れば」の部分は「s>s-ε>0となる有理数ε>0を取れば」でないとおかしいです。s-εが有理数とは限らない実数の場合は、s-ε<aを満たすAの元aの存在はすぐには出て来ませんので。（もちろん、有理数の稠密性を使えばそのようなaの存在を示すことはできますが、この証明法の場合はεは有理数の中からとるべきです。参考書を写したのなら参考書のミスだと思います。）

・"任意のs>s-ε>0を満たす有理数εに対して(s-ε)^2<2が成り立つならs^2<2"の証明は、ε=1/n (nは自然数)とおいてn->∞の極限を取ればいいです。このとき、
「実数列a_nが a_n < c (∀n)を満たし、lim a_nがaに収束するなら、a≦c」
というような事実を使っています。必要なら証明は考えてみて下さい。


>これは、ある参考書を写している途中なのですが「自分が本当にそう言えるのかな？」と疑問に思ったら証明を書こうとするのは愚かでしょうか？

いいえ。

>つまり、参考書では自明としているのだから自明なのであって、その自明の事実を自明と気付かない僕は頭が悪いのでしょうか？

いいえ。今回の質問内容に関しても、そこまで自明だとは思いません。直感的には正しそう、くらいまではすぐわかると思いますが、ちゃんと示そうと思うと上のような議論が必要です。
No.19808 - 2013/01/15(Tue) 03:15:29
☆ Re: 上限が存在しない例 / ハオ
ぽけっとさん丁寧なご指導有難う御座います.
>εは有理数の中からとるべきです

なるほど.εは実数でもいいが議論が込み入ってしまう、それに関しての証明が省かれているのならばεは有理数としてしまった方がいい　という事でしょうか？

>(s-ε)^2<2が成り立つならs^2<2"の証明

極限を取ればよいという事は分かりました.
ここで少し疑問なのですが、この参考書ではまだ極限の概念が出てきていません.(授業では習ったので知ってはいます)
参考書的に極限の定義などを確認していないのに、極限を考えなければ証明できないという事はよくある事なのでしょうか？
つまりまだ学習していない事を使わなければならないのに、その事には触れず無視して突き進むというのはよくあるのでしょうか？

>直感的には正しそう、くらいまではすぐわかると思いますが、ちゃんと示そうと思うと上のような議論が必要です。

なるほど.これからも自分で本当に言えるのか分からない場合は証明を書く態度を頑張って貫きたいと思います.

>実数列a_nが a_n < c (∀n)を満たし、lim a_nがaに収束するなら、a≦c
この証明を書いてみたのですがなにか間違っているところや、おかしなところはありますでしょうか？
もしありましたらご指導頂けると幸いです.
No.19809 - 2013/01/15(Tue) 10:11:45
☆ Re: 上限が存在しない例 / ぽけっと
>なるほど.εは実数でもいいが議論が込み入ってしまう、それに関しての証明が省かれているのならばεは有理数としてしまった方がいい　という事でしょうか？

その通りです。

>つまりまだ学習していない事を使わなければならないのに、その事には触れず無視して突き進むというのはよくあるのでしょうか？

うーん、難しいところですが、"よくある"とはいいませんが、"なくはない"というところでしょうか。
ちなみに極限を習う前で使いたくないというのなら、今回の(s-ε)^2<2⇒s^2≦2を極限操作なしで示すこともできます。
「実数列a_nがa_n<cを満たし・・・」
の証明同様背理法を使えばいいです。
ちなみにハオさんが書かれたこの事実の証明はそれでいいと思います。
No.19810 - 2013/01/15(Tue) 11:12:16
☆ Re: 上限が存在しない例 / ハオ
>うーん、難しいところですが、"よくある"とはいいませんが、"なくはない"というところでしょうか
なるほどです.少し位分からなくても取り敢えず先に進んでまた振り返ってみるというのも必要なんだなと思いました.

>ちなみに極限を習う前で使いたくないというのなら、今回の(s-ε)^2<2⇒s^2≦2を極限操作なしで示すこともできます。
少し考えてみたのですが、この様な(添付画像)証明で合っていますでしょうか？
どこか間違っているところや論証不十分なところがありましたらご指摘頂けると幸いです.
No.19811 - 2013/01/15(Tue) 16:04:06
☆ Re: 上限が存在しない例 / ぽけっと
正しいと思います。

ただ僕が勘違いしていなければ
ε=min(s, (s^2-2)/(2s))
で十分で、この方が自然な気がしますが、どこから3がでてきたのでしょうか。
（繰り返しますが）それでも間違いではないと思います。
No.19812 - 2013/01/15(Tue) 18:20:11
☆ Re: 上限が存在しない例 / ハオ
ぽけっとさんお付き合い下さり有難う御座います。
3sで割ったのは天下り的なのですが
s^2-3sεにε=(s^2-2)/3sを入れた際綺麗に2だけ残るから3sで割りました.
No.19813 - 2013/01/15(Tue) 22:52:51