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記事No.20006に関するスレッドです
★ 余剰 / AKI
X^14をX^3-1で割った余りを求めよ
という問題に対し、
X^14=P(x)（X-1）（X^2+x+1）+aX^2+bx+c
?@X=１を代入
a+b+c=1
?AX=iを代入（虚数解のうち一つをiとおく）
ai^2+bi+c=i^14
?BX=-i
ai^2-bi+c=i^14

?Aー?Bより
b＝０
よって
c＝１-a
まで出したのですが、そこからが、条件が足りないせいかどうしたらよいかわかりません。
どうかご教授下さいよろしくお願いします・・・
No.19975 - 2013/01/30(Wed) 01:54:33
☆ Re: 余剰 / らすかる
> ?AX=iを代入（虚数解のうち一つをiとおく）

このiは虚数単位のiではなくx^2+x+1=0の解の一つということですか？
もしそうだとしたら、X=-iはx^2+x+1=0の解ではありませんので
?Bは誤りです。
No.19976 - 2013/01/30(Wed) 02:10:35
☆ Re: 余剰 / aki
解のひとつとして置きました。
なぜ間違っていますか？また、どのようにとくのが正解ですか？
No.19982 - 2013/01/30(Wed) 10:14:55
☆ Re: 余剰 / らすかる
> 解のひとつとして置きました。
iと置いても間違いではないですが、
虚数を扱う時にiは通常虚数単位の意味になり、
非常に紛らわしいのでiは使わない方がいいです。
1の虚数立方根の一つはωと表すのが一般的です。
# テストで一般的でない書き方をすると、採点者が誤解して
# 正しくても誤答と判断されてしまう危険性があります。

> なぜ間違っていますか？
実際にx^2+x+1=0を解くと
x={-1+(√3)i}/2, {-1-(√3)i}/2 ですから
一方の解にマイナスを付けても他方の解になりませんね。

> また、どのようにとくのが正解ですか？
解き方は何通りもあり、解ければどれも正しいわけですから
「どのように解くのが正解」というのはありません。

私が解くとしたら
x^14-x^11=x^11(x^3-1)
x^11-x^8=x^8(x^3-1)
x^8-x^5=x^5(x^3-1)
x^5-x^2=x^2(x^3-1)
辺々加えて
x^14-x^2=(x^11+x^8+x^5+x^2)(x^3-1)
よって
x^14=(x^11+x^8+x^5+x^2)(x^3-1)+x^2
なので、x^14をx^3-1で割った余りはx^2
No.19983 - 2013/01/30(Wed) 10:45:11
☆ Re: 余剰 / aki
らすかるさんありがとうございます！！
因みにこのあとの問題が五番まはで続きますので、それを見越した解き方をしたほうがよいでしょうか？？
二、x^14+2x ^2-x^10をx^3-1で割ったときのあまり
三、〃をx^2+x+1で〃
四、x^14+ax^10+bx^6+2x^5+4x^3+1をx^2+x+1で〃
五、x ^ 99-1をx ^3+x^2+x+1で〃

と続きます。
自分だったらこういうように解きますというのを教えてくださいませんか。お願いします。
No.19994 - 2013/01/31(Thu) 01:53:07
☆ Re: 余剰 / らすかる
私なら（自分の好みの問題で）以下のように解きますが、
この解き方が良いとは限りません。
なお、2〜5のように続くのであれば
1問目の解き方も少し変わります。

x^(n+3)=x^n(x^3-1)+x^n なので
x^(n+3)をx^3-1で割った余りとx^nをx^3-1で割った余りは同じ。
よって指数から3の倍数を引いても余りは変わらない。

1
x^14をx^3-1で割った余りはx^(14-3×4)をx^3-1で
割った余りに等しいから、余りはx^2

2
x^14+2x^2-x^10をx^3-1で割った余りは
x^(14-3×4)+2x^2-x^(10-3×3)をx^3-1で
割った余りに等しいから、余りはx^2+2x^2-x=3x^2-x

3
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) だから、x^3-1で割った余りをx^2+x+1で割って
余りを求めればよい。よって (3x^2-x)-3(x^2+x+1)=-4x-3

4
x^14+ax^10+bx^6+2x^5+4x^3+1 をx^3-1で割った余りは
x^2+ax+b+2x^2+4+1=3x^2+ax+b+5 だから
x^2+x+1で割った余りは 3x^2+ax+b+5-3(x^2+x+1)=(a-3)x+b+2

5
(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4-1 であり、
x^4-1で割った余りを求める時は
冒頭に書いたことと同じ考え方により指数から4の倍数を引ける。
よってx^99-1をx^4-1で割った余りはx^3-1なので
x^99-1をx^3+x^2+x+1で割った余りは (x^3-1)-(x^3+x^2+x+1)=-x^2-x-2
No.19997 - 2013/01/31(Thu) 03:25:54
☆ Re: 余剰 / AKI
申し訳ありません問二はx^14+2x^12-x^10をx^3-1で割る・・・でした。そうなるとどうなりますでしょうか？
できればお早いお返事お願いできると本当に助かります。
どうかよろしくお願いします。
No.20004 - 2013/01/31(Thu) 15:46:19
☆ Re: 余剰 / AKI
具体的に聞きたいのは、2x^12をx^3-1で割った時のあまりですが、割り切れるのであまり０になりませんか？そう思いましたが、余りは２だと教えていただきました。そこがわかりませんでした。
No.20005 - 2013/01/31(Thu) 15:56:41
☆ Re: 余剰 / AKI
実際に割り算をしてみると余りが２xと出てきたので余計に混乱しています。
No.20006 - 2013/01/31(Thu) 16:20:42
☆ Re: 余剰 / らすかる
x^14+2x^12-x^10 ならば
指数から3の倍数を引いて
x^2+2-x ですから
余りは x^2-x+2 です。
3は(x^2-x+2)-(x^2+x+1)=-2x+1 となります。

> 2x^12をx^3-1で割った時のあまりですが、割り切れるのであまり０になりませんか？
割り切れません。
指数から12を引いた2x^0=2 が余りになります。

> 実際に割り算をしてみると余りが２xと出てきたので
写真がピンボケで指数がよくわかりませんが、少なくとも行数が
足りませんので、割り算の計算が間違っています。
2x^12
2x^12-2x^9
　　　　2x^9
　　　　2x^9-2x^6
　　　　　　　2x^6
　　　　　　　2x^6-2x^3
　　　　　　　　　　2x^3
　　　　　　　　　　2x^3-2
　　　　　　　　　　　　　2
となります。
No.20008 - 2013/01/31(Thu) 16:43:48
☆ Re: 余剰 / AKI
なる程ですありがとうございます。

因みに、問四を直接x^2+x+1でわることを考えなかったのは何故なんでしょうか？x^3-1の方が簡単であるのは、なんとなくわかりますがなんとなくしかわかりません。x＾２で割るならまだしもx+1が邪魔ということなんでしょうか？
No.20009 - 2013/01/31(Thu) 17:04:34
☆ Re: 余剰 / AKI
また、問５は理解できなかったのですが、
よってx^99-1をx^4-1で割った余りはx^3-1なので


まではわかりました。

x^99-1をx^3+x^2+x+1で割った余りは (x^3-1)-(x^3+x^2+x+1)=-x^2-x-2

そこからこうなるのがわかりません。
No.20010 - 2013/01/31(Thu) 17:05:06
☆ Re: 余剰 / らすかる
> 問四を直接x^2+x+1でわることを考えなかったのは何故なんでしょうか？
> x^3-1の方が簡単であるのは、なんとなくわかりますがなんとなくしかわかりません。
x^3-1で割った余りを求めるには指数から3の倍数を引くだけですから
ただの数字の計算だけでごく簡単に求められます。
x^3-1で割った余りは2次以下の式ですから、
x^2+x+1のn倍を引けばx^2+x+1で割った余りになり、簡単に求まります。
直接x^2+x+1で割り算するのは面倒ですね。

> x^99-1をx^3+x^2+x+1で割った余りは (x^3-1)-(x^3+x^2+x+1)=-x^2-x-2
> そこからこうなるのがわかりません。
x^4-1=(x-1)(x^3+x^2+x+1) ですから、
「x^99-1をx^3+x^2+x+1で割った余り」と
「(x^99-1をx^4-1で割った余り)をx^3+x^2+x+1で割った余り」は
等しくなります。
(x^3-1)-(x^3+x^2+x+1)=-x^2-x-2 という計算は
x^3-1をx^3+x^2+x+1で割った余りを求めているだけです。
3番でやってることと同じですね。
No.20011 - 2013/01/31(Thu) 17:56:52