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記事No.20092に関するスレッドです
★ 上智大学文系 / rio
今年の問題です。(1)(2)は類推です。解法が全く思いつきません。よろしくお願いいたします。
No.20092 - 2013/02/07(Thu) 19:11:16
☆ Re: 上智大学文系 / ヨッシー
(1)
ｋ＝２ のとき、右辺は１１です。２ｙ＋ｚ で最低３は取られるので、
３ｘ は最大でも８です。実際には、６か３です。
３ｘ＝６　のとき　２ｙ＋ｚ で５を作るのは　２ｙ＝４か２の２通り。
３ｘ＝３　のとき　２ｙ＋ｚ で８を作るのは　２ｙ＝６か４か２の３通り。
　よって、２＋３＝５(通り)

ｋ＝３　のとき　右辺は１７。
　３ｘ＝１２　のとき　２通り
　３ｘ＝９　のとき　３通り
　３ｘ＝６　のとき　５通り
　３ｘ＝３　のとき　６通り
　よって　２＋３＋５＋６＝１６(通り)

(2)
　６ｋ−１＝３・２ｋ−１
これから、２ｙ＋ｚ で取られる３を引くと
　３（２ｋ−１）−１
この数以下の３ｘを作るには、
　３ｘ＝３，６，９・・・３（２ｋ−２）
の２ｋ−２個。

(3)
３ｘ＝３（２ｋ−２）　のとき　２ｙ＋ｚ＝５　を作るのは　２通り
３ｘ＝３（２ｋ−３）　のとき　２ｙ＋ｚ＝８　を作るのは　３通り
　・・・
３ｘ＝６　のとき　２ｙ＋ｚ＝６ｋ−７　を作るのは　３ｋ−４通り
３ｘ＝３　のとき　２ｙ＋ｚ＝６ｋ−４　を作るのは　３ｋ−３通り

以上より、
　（２＋３）＋（５＋６）＋・・・＋{(3k-4)＋(3k-3)｝
　＝５＋１１＋１７＋・・・＋（６ｋ−７）
項数はｋ−１個なので、
　｛５＋（６ｋ−７）｝（ｋ−１）／２＝３ｋ^2−４ｋ＋１
No.20093 - 2013/02/07(Thu) 21:00:33
☆ Re: 上智大学文系 / ヨッシー
(4)
ｘ＝１，２，３・・・２ｋ−２　のうち　ｘ≦ｋのものについて、個数を足すと、
　（２＋３）＋（５＋６）＋・・・＋｛(3k/2−1)＋3k/2｝
　＝５＋１１＋・・・＋（３ｋ−１）
項数は k/2 なので
　｛５＋（３ｋ−１）｝(k/2)／２=(3/4)k^2＋ｋ＋０
No.20094 - 2013/02/07(Thu) 21:18:15
☆ Re: 上智大学文系 / IT
(3)の少し違う感じの表記の答案です。（実質的には同じことだと思いますが）
y,zは正整数より2y+z≧3なので
3≦3x≦6k-1-3=3(2k-2)+2
∴1≦x≦2k-2　すなわちxは2k-2とおり

2y＝6k-1-3x-z　で、z≧1なので
2≦2y≦6k-1-3x-1＝6k-3x-2である。
?@x＝2m-1（mは正整数m=1..k-1）のとき
　2≦2y≦6k-3(2m-1)-2＝6k-6m+1
∴1≦y≦3k-3m すなわちyは3k-3mとおり
?Ax＝2m（mは正整数m=1..k-1）のとき
　2≦2y≦6k-6m-2
∴1≦y≦3k-3m-1　すなわちyは3k-3m-1とおり
以上のような(x,y)に対してzは１つ決まる
よって条件を満たす正整数の組（x,y,z)の数は
?納m=1..k-1](3k-3m)+?納m=1..k-1](3k-3m-1)
＝?納m=1..k-1](6k)-?納m=1..k-1]6m-?納m=1..k-1]1
＝6k(k-1) - 6{k(k-1)/2} - (k-1)
＝3k^2-4k+1
No.20095 - 2013/02/07(Thu) 21:55:05
☆ Re: 上智大学文系 / rio
ありがとうございました。理解できました。
No.20105 - 2013/02/09(Sat) 06:49:20