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記事No.20333に関するスレッドです
★ 行列 / 高専
画像の問題の解き方を教えてください．
お願いします．
No.20333 - 2013/03/06(Wed) 09:11:51
☆ Re: 行列 / ヨッシー

より、
　Ｄ[n]＝(1+x^2)Ｄ[n-1]−x^2Ｄ[n-2]　(n≧3))　・・・(1)
　Ｄ[1]＝1+x^2, Ｄ[2]＝x^4+x^2+1
と書けます。
(1) を変形して
　Ｄ[n]−Ｄ[n-1]＝x^2(Ｄ[n-1]−Ｄ[n-2])
Ｅ[n]＝Ｄ[n+1]−Ｄ[n] とおくと、Ｅ[n] は、初項 x^4 公比 x^2 の等比数列
つまり、
　Ｄ[n]−Ｄ[n-1]＝ｘ^(2+2n)
n≧2 において、
　Ｄ[n]＝Ｄ[1]＋Σ[k＝1〜n-1]ｘ^(2+2n)
Ｓ＝Σ[k＝1〜n-1]ｘ^(2+2n) とおくと、
　Ｓ＝x^4＋x^6＋・・・＋x^2n　　　・・・(2)
x^2Ｓ＝x^6＋・・・＋x^2n＋x^(2n+2)　・・・(3)
x^2＝1 （つまり ｘ＝±1）のとき、
　Ｄ[n]＝２＋Σ[k＝1〜n-1]１＝ｎ＋１
x^2≠1 のとき　(3)−(2) より
(x^2-1)Ｓ＝x^(2n+2)−x^4
　Ｓ＝{x^(2n+2)−x^4}／(x^2-1)

以上より、
x^2＝1 （つまり ｘ＝±1）のとき、
　Ｄ[n]＝２＋Σ[k＝1〜n-1]１＝ｎ＋１
x^2≠1 のとき
　Ｄ[n]＝1＋x^2＋{x^(2n+2)−x^4}／(x^2-1)
　　＝{x^(2n+2)−１}／(x^2-1)

Σが残りますが、
　Ｄ[n]＝Σ[k=0〜n]ｘ^(2k)
という方が、スッキリするかもしれません。
No.20335 - 2013/03/06(Wed) 13:03:35
☆ Re: 行列 / 高専
なぜ2番目の式から3番目の式になるのか分かりません．
Ｄ[n-1]とＤ[n-2]はどのようにして出たのでしょうか．
たぶん余因子展開を理解できていません．
No.20336 - 2013/03/06(Wed) 13:24:45
☆ Re: 行列 / ヨッシー
１行目（最初の行列）から２行目になるのはわかるのでしょうか？

行列の第１行に着目して、展開しています。
(1+x^2) と x とその余因子が掛けられ、３項目以降は０なので消えます。

対角が 1+x^2 で、その隣がｘ、それ以外は０という行列で
ｎ次のものをＤ[n]と呼ぶとすると、(1+x^2) に掛けられているものはＤ[n-1] です。

ｘに掛けられている行列を、今度は第１列に着目して展開すると、
１番上のｘだけ残り、あとは０なので、消えます。
すると、ｘＤ[n-2]となり、それに元々掛けられていたｘを掛けて、
　x^2Ｄ[n-2]
となります。
No.20337 - 2013/03/06(Wed) 15:06:28
☆ Re: 行列 / 高専
理解できましたありがとうございます．

書き忘れてましたが，答えに
　D[n]-D[n-1]=x^2(D[n-1]-D[n-2])
　D[n+1]-D[n]=x^4(x^2)^(n-1)
よって，　
　D[n]=D[1]+(D[2]-D[1])+…+(D[n]-D[n-1])
=1+x^2+x^4+…+x^2n

と書いてあったのですが，なぜ1行目の式から2行目の式になるかわかりません．それと2行目の式から3行目の式もわかりません．
解説お願いします．
No.20338 - 2013/03/06(Wed) 16:26:50
☆ Re: 行列 / ヨッシー
D[n]-D[n-1]=x^2(D[n-1]-D[n-2])
これは、E[n]＝D[n]-D[n-1] が、公比 x^2 の等比数列であることを表しています。
でもって、初項は、E[1]＝D[2]−D[1]＝x^4 なので、
　(初項)×(公比)^(n-1)＝x^4(x^2)^(n-1)
です。展開すると、x^(2n+2) になります。

３行目は、割とテクニカルな変形ですが、上で階差数列の形が
出てきたので、
順に足すと、（わざと降べきの順に書きますが）
　(D[n]−D[n-1])＋(D[n-1]−D[n-2])＋・・・＋(D[3]−D[2])＋(D[2]−D[1])＝D[n]−D[1]
となり、最後に D[1] を足してやると、D[n] を求めたことになります。
階差数列の値を代入すると、（やはり降べきです）
　x^2n＋x^(2n-2)＋・・・＋x^6＋x^4＋(x^2+1)
となります。最後の(x^2+1) は D[1] です。
No.20339 - 2013/03/06(Wed) 17:17:56
☆ Re: 行列 / 高専
何度もすみません。
(D[n]−D[n-1])＋(D[n-1]−D[n-2])＋・・・＋(D[3]−D[2])＋(D[2]−D[1])＝D[n]−D[1]
はどのようにしたらでてくるのですか？
No.20341 - 2013/03/06(Wed) 18:33:55
☆ Re: 行列 / X
(左辺)=D[n]+(-D[n-1]+D[n-1])+(-D{n-2]+D[n-2])+…-D[1]
=(右辺)
となります。
No.20342 - 2013/03/06(Wed) 19:14:17
☆ Re: 行列 / 高専
すみません，よくわからないです．

３行目は、割とテクニカルな変形ですが、上で階差数列の形が
出てきたので、
順に足すと、（わざと降べきの順に書きますが）
　(D[n]−D[n-1])＋(D[n-1]−D[n-2])＋・・・＋(D[3]−D[2])＋(D[2]−D[1])＝D[n]−D[1]

この部分がわかりません．
No.20343 - 2013/03/06(Wed) 19:33:34
☆ Re: 行列 / X
末項が足りなかったので分かりづらかったのでしょうか。

(左辺)=D[n]+(-D[n-1]+D[n-1])+(-D{n-2]+D[n-2])+…+(-D{2]+D[2])-D[1]
と変形でき、()内は相殺されますのでD[n]と-D[1]のみが残り
(左辺)=D[n]-D[1]=(右辺)
となります。
No.20344 - 2013/03/06(Wed) 21:37:54
☆ Re: 行列 / 高専
やっと理解できました．
お二方ともありがとうございました．
No.20345 - 2013/03/06(Wed) 21:45:34