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記事No.20570に関するスレッドです
★ 中学数学 / ハオ
正四角錐A-BCDEがあり側面は1辺が12cmの正三角形である。
EDの中点をMとしBP+PQ+QMが最短となるように点P,点QをAC,AD上に取る。
この時PCの長さを求めなさい。
という問題なのですが添付画像の様に二種類の方法で解いてみました。

中学生に教えるのに右の解き方はあまり宜しくない気がして左の解き方を紹介しました。その際「何で△DCFを書き足したのか？」という事に生徒が疑問を持つと思い
「最初の展開図を見て、何か書き足したくならない？」と促したのですが「分からない」と返ってきました。
ゼルダの伝説を知らないようで「トライフォースが奪われたよ！リンク！」という補足も通じませんでした。
結局「引きたくなる気持ちを覚えて」で済ましてしまいました。
実際僕自身”なんとなく書き足したかったから描いてみた。そしたら上手くいった”という感じです。

図形の問題で説明する際によく「図形の対称性とか綺麗さを求める為になんか気持ち的に引きたくならない？」という言葉を使ってしまうのですが教え方が悪いでしょうか？
というのも数学はよく論理性という言葉が一緒について回る様に思われるのですが”気持ち的に”というのは論理性に反している気がしてしまうのです。
No.20570 - 2013/03/19(Tue) 07:27:35
☆ Re: 中学数学 / ハオ
だらだら書いてしまいましたがお聞きしたいのは
「気持ち的に引きたくなる」という教え方は教育上よろしくないでしょうか？
その場合右の様な解答を紹介する方が良いのでしょうか？
という事です。
No.20571 - 2013/03/19(Tue) 07:35:25
☆ Re: 中学数学 / ヨッシー

図のようにＰＣ＝ｘとおいて、
　ＡＰ＝１２−ｘ
　ＡＱ＝ＡＰ・ＢＣ/ＰＣ＝(12/x)(12-x)＝144/x−12
　ＱＤ＝１２−ＡＱ＝24−144/x
とした上で、ＭＤ：ＤＱ＝ＰＣ：ＢＣ　より　ＤＱ・ＰＣ＝ＭＤ・ＢＣ　から
　(24−144/x)ｘ＝6・12
　24x−144＝72
　24x＝216
　ｘ＝９
のように、回り回って解くことは出来ます。

Ｆを設けたほうが美しいですが、それを思いつかなかった場合の
解法も一応押さえてみました。

実は「気持ち的に引きたくなる」は、ある種ひらめきなのですが、
それを支えるのは「柔軟な思考力」ではなく「豊富な経験」です。
ですから、今ひらめかなくても、今回紹介することで、いつか
役に立つことを信じて（願って）情報は与え続けなければいけません。

先日、ＮＨＫの「Ｒの法則」で、ある現役数学教諭が、「数学は
解法自体が芸術だ」と言っていましたが、「綺麗に解く」を目指すのは
良いことだと思います。
No.20572 - 2013/03/19(Tue) 10:55:11
☆ Re: 中学数学 / ＿
＞「トライフォースが奪われたよ！リンク！」という補足も通じませんでした。

そりゃ無理もない話です。

＃が、個人的には好きです。

この手の問題としては、確かに図形の問題での補助線の引き方などが典型例として分かりやすいのですが、代数的なものでも、巧妙な式変形や不定積分の求め方で「なんでそういう考え方が出来るのさ」と思ったことは多いですし、そういう質問を受けることもありました。

私自身はこれに対し「どこかで誰かがそうやったのを見たから」という意味の(じつに夢のない！)答えをしています。私は残念ながら数学の天才ではないのだ、ということぐらいはさすがに認識しているので、そういった巧妙な解き方をいつか自力で閃くのだと信じてはおらず、「確かこんな感じでやった気がするなあ」という曖昧なものからしっかりと丸暗記したものまで、程度の差はあれ、かつて見たはずのものをベースに解くことになります。

その解き方が思いつかなかった、という事実が与えることは、その解き方を思いつくために必要な経験も天才的なひらめきも、そのどちらも欠けているという指摘と、次同じ問題が出たらその解き方で解けるようになっているはずだという期待です。重要なのは後者です。残念ながら天才ではないのなら、経験によって知るしかないのです。100問なり1000問なり、充分になるまで経験を積めばなんとかなります、多分。

＃幸運なことに天才であるのなら、それはそれで私ごときがどうこう言うことではありません:-P

「気持ち的に引きたくなる」のが充分な経験を積んだからだというのなら、無闇に自分が天才だと思うべきではないという意味では教育上よろしくないのかもしれません(…とは実は思わないのですが、まあ、こんなことをダイレクトに言えば非難は受けそうです)。しかし、こつこつとやればできるようになる(かも)という意味は大っぴらに言ってもなんだか無難な気がします。
No.20573 - 2013/03/19(Tue) 11:30:24
☆ Re: 中学数学 / ハオ
>ヨッシーさん
なるほど別解まで頂いて有難う御座います。
確かに類題経験がないとその場で思いつかないような問題も沢山ありますね。いつか役に立つ事を願って考えられる色々な解き方を教えてあげたいなと思いました。

「数学はかっこいいよ、綺麗だよ」と教えてる中学生に言っても「ない・・それはない・・・」なんて残念ながら言われちゃいますね・・・(笑)

>＿さん
懇切丁寧に有難う御座います。
確かに式変形や不定積分の求め方の途中で「こんなん思いつくのは困難だ」とよく思います。こういう事がよくあるので、自分には数学的センスや才能は無かったんだ、と絶望してしまいます。
ですがそこで諦めず、＿さんが仰る通り練習し続ければ過去の人達の足跡を辿ることはできて巨人の肩に乗ることはできますね。
教育というのは難しいものなのですね。僕は教師でもない、ただのアルバイトで教えているのですが、それでもこんなに悩んでしまう事を考えると、教師の方は本当に大変で凄いなぁと感心してしまいます。
No.20579 - 2013/03/20(Wed) 10:41:22