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記事No.20618に関するスレッドです
★ ここに掲載されていた問題 / ハオ
一昨日くらいにここに掲載されていた問題がどうにも気になりまして解こうと思ったのですが、なかなかうまく行きません。
問題は
数列a_n+1=a_n/n+n/a_n，a_1=1のとき
n=>4にたいして
[(a_n)^2]=nを示せ（ただし[]はガウス記号）
だったと記憶しています。

調べてみたところなにやら煩雑な方法で解くことは可能らしいのですが、個人的には問題の明快さからもっと別のエレガントな方法があると思うのですがどうでしょうか？
No.20618 - 2013/03/22(Fri) 14:06:16
☆ Re: ここに掲載されていた問題 / ハオ
続きですが、
＜・・・＞以降手が付けられないでいます。

この問題の問題背景等わかる方がいましたら教えて頂ければ幸いです。
No.20619 - 2013/03/22(Fri) 14:09:54
☆ Re: ここに掲載されていた問題 / ハオ
別の方法を考えてみました。

[a_(k)*a_(k+1)]≦[a_(k+1)*a_(k+1)]≦[a_(k+1)*a_(k+2)]
より
[a_(k)*a_(k+1)]=k+1は仮定し
[a_(k+1)*a_(k+2)]＜(k+1)+1と計算出来れば
[a_(k+1)*a_(k+1)]=k+1となることが言えて数学的帰納法から証明終了となると思います。

そこで[a_(k+1)*a_(k+2)]を大きく見積もって計算すると
(具体的にはa_(k)/a_(k+1)=1としました)
k+1+
[{2k+2+(c/k)}/{k(k+1)} + k^2/{(k+1)(k+c)} - ck/{k^2+k+c}]となる(ただしcはa_(k)=k+cを満たす)

そこでk+1+[{2k+2+(c/k)}/{k(k+1)} + k^2/{(k+1)(k+c)} - ck/{k^2+k+c}]
＜k+1[1/2 + 1/80 + 16/20 - 4/21]=(k+1)+1

※k=4 分子のc=0 分母のc=1としました。
よって
[a_(k)*a_(k+1)]=k+1≦[a_(k+1)*a_(k+1)]＜[a_(k+1)*a_(k+2)]＜k+2

従って数学的帰納法より証明終了■
としたのですがどうでしょうか？

見積り方が強引すぎる気がするのですが・・・
No.20620 - 2013/03/22(Fri) 16:01:43
☆ Re: ここに掲載されていた問題 / IT
ITです。いったん、投稿して削除しました。整理して再投稿しようと思って遅くなりすみません。

元々は、数学問題集「考える葦」数学質問掲示板で見つけました。問題はハオさんのとおりです。
http://www2.ezbbs.net/cgi/bbs?id=eijitkn&dd=34&p=1
元の投稿：2013/3/17(日) 11:42　この投稿者もネットで見かけられたようです。（私も2chで一度見つけましたがきちんとした解答はありませんでした）
その後、2013/3/20(水) 8:32 下記の通り少しスマートな証明が投稿されてます。
----------------------------------------------------
f(n,x)=n/x+x/nとおくと
√(n+2)<f(n+1,f(n,√n))<f(n+1,f(n,√(n+1)))<√(n+3).
したがって√n≦a_n<√(n+1)ならば√(n+2)≦a_{n+2}<√(n+3).
----------------------------------------------------
「f(n+1,f(n,√(n+1)))<√(n+3)を示すのが、結構めんどくさい式になりそうです。手順を教えて下さい。」
----------------------------------------------------
「力学系の問題(軌道の安定性問題)は多少計算が面倒でも力技で進めるのが王道です．
どのオーダーが支配的か一見ではわからんからね．」
----------------------------------------------------
とあります。これによると力学関係の漸化式のようです。
次数は大きくなりますが単純な計算（展開）ですので計算サイトで確認すると正しいようです。これが最もシンプルな証明法かも知れません。2013/3/17(日)の投稿の方法でも証明できますが、これもかなり次数の大きい計算（展開）が必要です。
> 調べてみたところなにやら煩雑な方法で解くことは可能らしいのですが
教えてもらうとうれしいです。
No.20623 - 2013/03/22(Fri) 18:28:48
☆ Re: ここに掲載されていた問題 / ハオ
>ITさん
なるほど有難う御座います。とても難しい問題ですね。紹介して頂いて感謝しています。
何故この様な問題を思いつけたのかとても気になるところですねね。何か問題背景があるのでしょうか？

僕のNo.20620では証明になっていませんかね？
No.20624 - 2013/03/22(Fri) 19:16:27
☆ Re: ここに掲載されていた問題 / ハオ
>ITさん
ttp://mimizun.com/log/2ch/math/978209589/
ここのレス番号119に問題、120に解き方の一部が書いてありました。
元ネタは今から12年も前みたいですね。興味深いです。
No.20625 - 2013/03/22(Fri) 19:25:22
☆ Re: ここに掲載されていた問題 / IT
>ハオさん
> ここのレス番号119に問題、120に解き方の一部が書いてありました。
私が、見たのもこれです。
k <= (a_k)^2 < k+1 を仮定してk+1 <=　(a_(k+1))^2 < k+2
を導く方針はいかがでしょう。
とありますが、仮定が弱すぎて次のステップに進めないと思います。
No.20626 - 2013/03/22(Fri) 20:01:12
☆ Re: ここに掲載されていた問題 / ハオ
>ITさん
次のステップというのは
>仮定より 2 <= √k <= a_k <√(k+1)
でしょうか？
それとも
>k+1 < (f(k) + 1/g(k))^2
>k+2 > (g(k) + 1/f(k))^2
>この2つが k >= 4 で成立することを示せば解決します。
でしょうか？
No.20627 - 2013/03/22(Fri) 20:12:34
☆ Re: ここに掲載されていた問題 / IT
k+2 > (g(k) + 1/f(k))^2 のことです。直接確かめてはないですが。

(a_k)^2は、k+(1/2) に上から収束する様子なので
k+(1/2)≦(a_k)^2≦k+(1/2)+f(k)　のようなはさみうちになりそうです。
k+(1/2)≦(a_k)^2≦k+(1/2)+{(k-1)^2+(2k-1)^2}/{2(k-1)^2}(2k-1)
こんな感じですかね。

　
No.20628 - 2013/03/22(Fri) 20:18:47
☆ Re: ここに掲載されていた問題 / ハオ
>ITさん
なるほど、確かに僕も解く途中、色々な不等式を考えたのですが式変形する途中で評価が甘くなってしまい
k+1≦{a_(k+1)}^2＜k+2に持っていくことは難しかったです。

>(a_k)^2は、k+(1/2) に上から収束する様子なので
なるほど、計算が面倒でk=4,5の時しか試していなかったのでそれには気付くことが出来ませんでした。有難うございます。

別の分野でスパっと証明する方法はないのでしょうかね？
意地になってこの2日間ずっと考えていましたので、なんかこう驚きの証明方法を見てみたい気もしますよね。
No.20629 - 2013/03/22(Fri) 20:41:45
☆ Re: ここに掲載されていた問題 / IT
> >(a_k)^2は、k+(1/2) に上から収束する様子なので
> なるほど、計算が面倒でk=4,5の時しか試していなかったのでそれには気付くことが出来ませんでした。有難うございます。
表計算ソフトでｎ＝５０くらいまで調べて見ました。（近似値です）コピペで、簡単に計算出来ます。
No.20630 - 2013/03/22(Fri) 20:54:13
☆ Re: ここに掲載されていた問題 / IT
別のサイトで空舟さんがきれいな証明をしてくださいましたので紹介（転載）します。
※一部…?@などを付加してます。
http://6626.teacup.com/shochandas/bbs

a[1]=1, a[2]=1+1=2,a[3]=2/2+2/2=2, a[4]=2/3+3/2=13/6

(a[n])^2 - n = b[n] …?@とおく方針を考えました
a[n]は正なので a[n] =√(n+b[n])　…?A

b[n+1]=a[n+1]^2 - (n+1)
=(a[n]/n + n/a[n])^2 - (n+1)
={√(b[n]+n)/n + n/√(b[n]+n)}^2 - (n+1)
=(b[n]+n)/n^2 + n^2/(b[n]+n) + 1 - n

b[1]=0, b[2]=2, b[3]=1, b[4]=25/36

(n≧4)とする
b[n+1] = f(b[n]), すなわち
f(x) = (x+n)/n^2 + n^2/(x+n)+1-n　…?Bとおくと
f'(x) = 1/n^2 - n^2/(x+n)^2
f'(0) = -1+1/n^2 ＞ -1 であるから
0≦x≦1 のとき -1 ＜ f'(x) ＜0 …?Cでf(x)は狭義の単調減少が判明する。

f(1) = 1/n +1/n^2 + n^2/(1+n) + 1-n = 1/n+1/n^2 + 1/(1+n) = δ …?Dとおく。
　n≧4より０＜δ＜１である。

g(x) = 1-x + δ …?Eとおくと
g(1)=f(1), g'(x)= -1 より -1 ＜ f'(x) ＜0（?C）と比較することで
0≦x≦1 ではf(x) ≦ g(x)…?F　が成り立つ。
また定義?Eより　g(δ)=1 である。

以上より
δ＜x＜1 ならば
　f(x)は狭義の単調減少なので、 f(1)＜f(x)＜f(δ) であり
　　定義?Dよりf(1)=δ, ?Fよりf(δ)≦g(δ)=1　なので
　 δ＜f(x)＜1 が成り立つ

まとめると（上の xにb[n]を代入することにより）
　δ＝1/n+1/n^2 + 1/(1+n)　≦　b[n] ＜ 1（…数学的帰納法の仮定）
　ならば　1/n+1/n^2 + 1/(1+n)　≦　b[n+1] ＜ 1 が言えた
1/n+1/n^2 + 1/(1+n)　は　0に向かって単調減少であるから
1/(n+1)+1/(n+1)^2 + 1/(1+(n+1))　≦　b[n+1] ＜ 1　が従い、数学的帰納法の次ステップの成立が言える

また、1/4+1/4^2 + 1/(1+4)　≦b[4]=25/36＜ 1 なので

数学的帰納法により
　任意の４以上の自然数nについて
　　1/n+1/n^2 + 1/(1+n)　≦　b[n] ＜ 1
　　よって　0＜ (a[n])^2 - n＜ 1
　　すなわち[(a[n])^2]=n　が示せたと思います。

No.20672 - 2013/03/24(Sun) 12:49:00
☆ Re: ここに掲載されていた問題 / ハオ
>ITさん
有難うございます。拝見させて頂きました。とても格好良い証明方法だと思います。
実は、常にこの問題の事しか考えられなくなり、しかしどうにも出来ずに苦しみついさっき（この証明を見る前に）大学の教授にメールで質問してしまいました。
空舟さんが仰っていた「何か「裏」があるかもしれない気はします」の「裏」を教授が教えて下さる事を祈っています。
No.20674 - 2013/03/24(Sun) 13:25:21
☆ Re: ここに掲載されていた問題 / IT
空舟さんが別証明を上げておられます。
http://6626.teacup.com/shochandas/bbs
投稿日：2013年 3月24日(日)13時47分19秒
No.20675 - 2013/03/24(Sun) 14:10:36