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記事No.2092に関するスレッドです
★ (No Subject) / 7bitm　
・△ABC≡△DEF　
・∠AGD＝60°
このとき図において、
AE,BF,CDの中点同士を結ぶと
正三角形になることの証明。

自力で解くと補助線が凄まじくなってしまって。
簡単な解き方は無いでしょうか。お願いします。
No.2092 - 2008/08/17(Sun) 03:26:40
☆ Re: / にゃんこ先生といいます
複素数を使うとよいのでは?
A=0,B=b,C=cとする。
△ABCをAを中心に-60度回転(-ωをかける)し、平行移動(pをたす)したのが△DEFだから、
D=p,E=-ωb+p,F=-ωc+p

AE,BF,CDの中点はそれぞれ、
(-ωb+p)/2,(b-ωc+p)/2,(c+p)/2

ところで、点α,β,γが正の向きに正三角形をなすとき、
α+ωβ+ω^2γ=0
だから、それらはこの式を満たすので正三角形
No.2093 - 2008/08/17(Sun) 07:57:05
☆ Re: / にょろ
↑複素数は高校の範囲になっていないので使えそうにありません。
（何ではずした文科省中途半端な行列は残したくせに）

なので座標を使ったらどうでしょう?
a(0,0),b(1,0),c(1/2,1/√3)
d(c,d)〜

で、それの中点を求める
というのは？
No.2096 - 2008/08/17(Sun) 08:41:22
☆ Re: / 7bitm　
図形的に考えなくても良いんですね！

複素数の方は感覚的にしかわからないのでちょっと。

座標の方は60°をどう使うかがわかりません。
それと、　c(1/2,1/√3)　というのもいまいち…
No.2101 - 2008/08/17(Sun) 12:09:06
☆ Re: / にょろ
あ、思いっきり間違えました
a(0,0),b(2,0),c(1,√3)
でした。

少し急いでいたので…
正三角形はすべて合同なので一辺の長さが2の時だけ考えればよいことになります。
d(c,d),e(e,f)
とするとfはどう表せますか?

ただタブン複雑になりますよ^^;
No.2107 - 2008/08/17(Sun) 17:08:44
☆ Re: / 7bitm　
度々すみません。
a,b,cを結ぶと正三角形になるのは解ったのですが、
その「a,b,c」は何を指すのでしょうか。

３つの中点ならばd,eは何を指すのでしょうか。
△ABCの頂点ならば△ABCは正三角形とは限らないので
おかしくなってしまい…。

というわけでfが表せないのです…
No.2111 - 2008/08/17(Sun) 21:02:34
☆ Re: / にょろ
あ、問題読み間違えました

それはもう力一杯
というわけでこの方法でやると
変数が大量に出てくるのでお勧めしません。
A(0,0)B(1,0)←ここまでは決めて問題ない
C(a,b)

D(c,d)
E(e,f)
ただし
DE=1
F(g,h)
ただし
AC=DF
AB=DF
という座標には表せます。
が、これを計算で持って行くとなると
大変だと思います。

あとは、行列もありますが…
No.2117 - 2008/08/18(Mon) 02:33:11
☆ Re: / 7bitm　
やっぱりそう簡単にはいかないですね。
座標は角度が入ると辛いです。

一応図に30本ぐらい線を引けば図形的に証明できるには
できます(もっと簡単にできるかも、ですが)

にょろさん、にゃんこ先生といいますさん、
ありがとうございました。
No.2118 - 2008/08/18(Mon) 04:35:08
☆ (No Subject) / ヨッシー
ごりごり計算するには違いありませんが、

図のように、△ＡＢＣと△ＤＥＦは、ある点を中心に60°回転した関係にあります。
（ある点とは、ＡＤ，ＢＥそれぞれの垂直二等分線の交点です）
この中心を原点として D(a,b),E(c,d),F(e,f) とおくと、
A((a-√3b)/2,(√3a+b)/2),B((c-√3d)/2,(√3c+d)/2),C((e-√3f)/2,(√3e+f)/2) となり、
AE,BF,CDの中点の座標を出して、中点間の距離の２乗を計算すると、いずれも
　a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+√3(ad+cf+eb-af-cb-ed)-(ac+ce+ea+bd+df+fb)
になります。

それはさておき、この問題は、図のように

１つの頂点を共有する３つの正三角形の問題に帰着するのですが、
こういうの、どなたかご存じないですか？

おまけ

No.2136 - 2008/08/19(Tue) 14:16:09
☆ Re: / 7bitm　
「１つの頂点を共有する３つの正三角形の問題」
ならしっていますよ。

この問題自体が、
一年前に実習生として来ていた大学生から出された
その問題をアレンジして作ったものですから。

自分の解き方は、その問題の形にしてから解いていく、
というものですし。
No.2153 - 2008/08/20(Wed) 00:32:56