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記事No.21020に関するスレッドです

図形 / function
図のように,半径6の円Oの周上に6点A,B,C,D,E,FをAB=CD=EF=6,AE=9,弧AB=2弧BCとなるようにとる。また,AEとBFの交点をPとする。さらに,CEとDFとの交点をQ,BDとACとの交点をRとする。このとき,△PQRの面積を求めよ。(中学の数学です。)

この問題の解き方と答えを教えてください。

No.21020 - 2013/04/02(Tue) 14:47:15

Re: 図形 / らすかる
うまい解き方が思いつかないので、座標平面に当てはめて
強引に計算してみたところ、
PQ=2√6, QR=3√3, RP=(3√6+√42)/2,
∠PRQ=45°, △PQR=9(3+√7)/4
となりました。

No.21031 - 2013/04/02(Tue) 22:10:28

Re: 図形 / function
ありがとうございました。
No.21042 - 2013/04/03(Wed) 22:16:50

Re: 図形 / みと
まとまっていませんが、中学性の問題としての参考例です

円Oの半径6,AB=CD=EF=6から
・・・弧AB,BC,CAの中心角60°
弧AB=2弧BCから、弧AC,弧BDの中心角90°で、
・・・CA=DB=6√2,∠AEC=∠BFD=45°

△CAE≡△DBFで、∠AOB=60から
△DBFは△CAEを60°回転したもので
・・・CAとDB,AEとBF,ECとFDはそれぞれ60°で交わる

(1)FDとAEの交点をKとします
△KFPは、∠P=60°,∠F=45°で、∠K=75°なので、
KからEPに下ろした垂線を考えると、30°60°90°と45°45°90°
となり、1:2:√3,1:1:√2を利用して
・・・KF:KP=√6:2
△KEF∽△KQPで、KF:KP=√6:2,FE=6より、
・・・PQ=2√6

(2)
O,Qから線分EFを見込む角が60°になるので、
・・・4点O,Q,E,Fは同一円周上にある(半径2√3)
O,Qから線分CDを見込む角が60°になるので、
・・・4点O,Q,C,Dは同一円周上にある(半径2√3)
O,P,Rから線分ABを見込む角が60°になるので、
・・・5点O,Q,P,Rは同一円周上にある(半径2√3)

(3)等しい半径の円の等しい弧に対する円周角が等しいことから
∠OEQ=∠ORQ,∠OEP=∠OBPで
∠PEQ=∠OEP+∠OEQ=∠OBP+∠ORQ=∠PRQ
・・・つまり、∠PRQ=∠CEA
同様にして、∠RPQ=∠ECAとなり
・・・△PQR∽△CAE
PQ=2√6,CA=6√2,AE=9から
・・・QR=3√3,∠QRP=AEC=45°

(4)QからPRに垂線を下ろす
1:1:√2の直角三角形ができることから
・・・垂線の長さ=QR/√2=(3/2)√6=垂線の足からRまで
三平方の定理を利用して、垂線の足からPまでを√42/2と求め
・・・底辺PR=(3√6+√42)/2
面積は
・・・9(3+√7)/4

No.21099 - 2013/04/07(Sun) 23:40:10