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記事No.21069に関するスレッドです

問題 / lim
この問題を教えてください。
No.21069 - 2013/04/06(Sat) 01:41:19

Re: 問題 / ヨッシー
(1)
x=30 のときは Pn(x)=1 (n は任意の自然数)
x=15 のときは Pn(x)=1/2 (n は任意の自然数)
x=0 のときは Pn(x)=0 (n は任意の自然数)

16≦x≦29 のとき P1(x)=1/2 (1回目で裏が出る) ですが、
2回目以降については、
 1回目に裏が出たら、それ以降はずっとLに30個ある
 1回目に表が出た場合 Lに2x-30個あります。
 よって、P[n-1](2x-30) が 1/2 の確率で加わります。
 つまり、
 Pn(x)=1/2+(1/2)P[n-1](2x-30)
1≦x≦14 のとき P1(x)=0 ですが、
2回目以降については、
 1回目に表が出たら、それ以降はずっとLは0個です。
 1回目に裏が出た場合 Lに2x個あります。
 よって、P[n-1](2x) が 1/2 の確率で加わります。
 つまり、
 Pn(x)=(1/2)P[n-1](2x)

これらをまとめると、
0≦x≦15 のとき y=2x とおくと、Pn(x)=(1/2)P[n-1](y)
15≦x≦30 のとき y=2x-30 とおくと、Pn(x)=1/2+(1/2)P[n-1](y)

(2)
(1) より
 P[m+1](20)=1/2+(1/2)Pm(10)
 P[m+2](10)=(1/2)P[m+1](20)=1/4+(1/4)Pm(10)
これは、P0(10)=0 とすると、m=0 についても成り立つ。
ここで、
 a[n+1]=1/4+(1/4)an, a0=0 ・・・(i)
という漸化式を考えると、 P[2n](10)=an となります。
(i) の一般項を求めると、
 an=(1/3){1−1/4^n}
よって、P[2n](10)=(1/3){1−1/4^n}

(3)
(1) より
 P[m+1](18)=1/2+(1/2)Pm(6)
 P[m+2](24)=1/2+(1/2)P[m+1](18)=3/4+(1/4)Pm(6)
 P[m+3](12)=(1/2)P[m+2](24)=3/8+(1/8)Pm(6)
 P[m+4](6)=(1/2)P[m+3](12)=3/16+(1/16)Pm(6)
これは、P0(6)=0 とすると、m=0 についても成り立つ。
ここで、
 a[n+1]=3/16+(1/16)an. a0=0 ・・・(ii)
という漸化式を考えると、 P[4n](6)=an となります。
(ii) の一般項を求めると、
 an=(1/5){1−1/16^n}
よって、P[4n](6)=(1/5){1−1/16^n}

(1) はもっといい表現方法があるかも知れません。

No.21086 - 2013/04/06(Sat) 23:38:42