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記事No.21069に関するスレッドです
★ 問題 / lim
この問題を教えてください。
No.21069 - 2013/04/06(Sat) 01:41:19
☆ Re: 問題 / ヨッシー
(1)
x=30 のときは Ｐn(x)＝１　(n は任意の自然数)
x=15 のときは Ｐn(x)＝1/2　(n は任意の自然数)
x=0 のときは Ｐn(x)＝０　(n は任意の自然数)

16≦x≦29 のとき　Ｐ1(x)＝1/2 (1回目で裏が出る) ですが、
２回目以降については、
　１回目に裏が出たら、それ以降はずっとＬに３０個ある
　１回目に表が出た場合　Ｌに2x-30個あります。
　よって、Ｐ[n-1](2x-30) が 1/2 の確率で加わります。
　つまり、
　Ｐn(x)＝1/2＋(1/2)Ｐ[n-1](2x-30)
1≦x≦14 のとき　Ｐ1(x)＝０ ですが、
２回目以降については、
　１回目に表が出たら、それ以降はずっとＬは０個です。
　１回目に裏が出た場合　Ｌに2x個あります。
　よって、Ｐ[n-1](2x) が 1/2 の確率で加わります。
　つまり、
　Ｐn(x)＝(1/2)Ｐ[n-1](2x)

これらをまとめると、
0≦x≦15 のとき　ｙ＝2x とおくと、Pn(x)＝(1/2)Ｐ[n-1](y)
15≦x≦30 のとき y=2x-30 とおくと、Ｐn(x)＝1/2＋(1/2)Ｐ[n-1](y)

(2)
(1) より
　P[m+1](20)＝1/2＋(1/2)Pm(10)
　P[m+2](10)＝(1/2)P[m+1](20)＝1/4＋(1/4)Pm(10)
これは、P0(10)＝0 とすると、m=0 についても成り立つ。
ここで、
　ａ[n+1]＝1/4＋(1/4)ａn, ａ0＝0　・・・(i)
という漸化式を考えると、　Ｐ[2n](10)＝ａn となります。
(i) の一般項を求めると、
　ａn＝(1/3){1−1/4^n}
よって、Ｐ[2n](10)＝(1/3){1−1/4^n}

(3)
(1) より
　P[m+1](18)＝1/2＋(1/2)Pm(6)
　P[m+2](24)＝1/2＋(1/2)P[m+1](18)＝3/4＋(1/4)Pm(6)
　P[m+3](12)＝(1/2)P[m+2](24)＝3/8＋(1/8)Pm(6)
　P[m+4](6)＝(1/2)P[m+3](12)＝3/16＋(1/16)Pm(6)
これは、P0(6)＝0 とすると、m=0 についても成り立つ。
ここで、
　ａ[n+1]＝3/16＋(1/16)ａn. ａ0＝0　・・・(ii)
という漸化式を考えると、　Ｐ[4n](6)＝ａn となります。
(ii) の一般項を求めると、
　ａn＝(1/5){1−1/16^n}
よって、Ｐ[4n](6)＝(1/5){1−1/16^n}

(1) はもっといい表現方法があるかも知れません。
No.21086 - 2013/04/06(Sat) 23:38:42