空間内で、O（0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,1),E(1,0,1),f(1,1,1,),G(0,1,1)を頂点とする１辺の長さの立方体の表面積および内部をKとする。
また０＜t＜３として３点P（t ,0,0),Q(0,t,0)R(0,0,t)を頂点とする三角形の周及び内部をTとする。
KｔTの共通部分をLとして、Lの面積をS（t）とする。
０＜t≦１、１＜t≦２、２＜t＜３に分けて、S（t）を求めよ。
解答と解説をお願いします。
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No.21320 - 2013/05/03(Fri) 22:32:03
| ☆ Re: / WIZ | | | 方針だけ説明します。
xy平面(x軸とy軸の両方を含む平面)に着目します。
原点O(0, 0), 点A(1, 0), 点B(1, 1), 点C(0, 1)を頂点とする正方形OABCと、
点P(t, 0), 点Q(0, t)を通る直線y = t-xを考えます。
正方形OABCと直線y = t-xの共通部分となる線分の長さをf(t)とすれば、
S(t)は1辺がf(t)の正三角形の面積となります。
(1)0 < t ≦ 1の場合
y = t-xとy軸の交点(0, t)と、
y = t-xとx軸の交点(t, 0)を端点とする線分の長さがf(t)です。
(2)1 < t ≦ 2の場合
y = t-xと線分CBの交点(t-1, 1)と、
y = t-xと線分ABの交点(1, t-1)を端点とする線分の長さがf(t)です。
(3)2 < t < 3の場合
正方形OABCと直線y = t-xの共通部分はありませんので、f(t) = 0です。
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No.21322 - 2013/05/03(Fri) 23:55:10 |
| ☆ Re: / X | | | 横から失礼します。
まずTを含む平面が
x+y+z=t (A)
であることを押さえておきます。
(i)0＜t≦1のとき
Tは全てKに含まれますので
△PQRが
PQ=QR=RT=t√2
の正三角形であることに注意して
S(t)=(1/2)PQ・QRsin60°=(√3/2)t^2
(ii)2＜t＜3のとき
Tは辺EF,FG,BFと交点を持ち、Lはこれらの交点を結ぶ
三角形の周及び内部になります。
ここでTと辺EF,FG,BFとの交点をP',Q',R'とすると(A)より
P'(1,t-2,1),Q'(t-2,1,1),R'(1,1,t-2)
∴△P'Q'R'は
P'Q'=Q'R'=R'P'=(3-t)√2
の正三角形ですので
S(t)=(1/2)P'Q'・Q'R'sin60°=(√3/2)(3-t)^2
(iii)1＜t≦2のとき
TはKの辺AB,BC,DE,DG,AE,CGと交点を持つことになります。
(ii)と同様に(A)からこれらの交点の座標を求めると
Lの形状は下のような六角形の周及び内部となることが
分かります。
これは
上底：(t-1)√2、下底：√2、高さ:(1/2)(2-t)√6
の台形と
上底：(2-t)√2、下底：√2、高さ:(1/2)(t-1)√6
の台形の下底同士を貼り合わせた形になっていますので
S(t)=(1/2){(t-1)√2+√2}・(1/2)(2-t)√6+(1/2){(2-t)√2+√2}・(1/2)(t-1)√6
={t(2-t)+(3-t)(t-1)}・(1/2)√3
=(1/2)(-2t^2+6t-3)√3
注)描画ソフトの仕様上、六角形の内部に余分な線が入っていますが無視して下さい。
この図で
○の辺の長さは(2-t)√2
×の辺の長さは(t-1)√2
赤線の長さは√2
となっています。
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No.21324 - 2013/05/04(Sat) 01:01:34 |
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