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記事No.21572に関するスレッドです
★ (No Subject) / 高専
x^2=2sinxの0<x<π/2の範囲における実数解の個数を関数x^2−2sinxの増減表と概略図を作成することにより示しなさい。
答えを教えてください。
お願いします。
No.21568 - 2013/05/29(Wed) 12:06:17
☆ Re: / X
問題文の方針通りです。
y=x^2-2sinx (A)
と置いて0＜x＜π/2での増減表を書き、(A)のグラフの概形
を描いてx軸との交点の数を求めます。
但し、極値を持つxの値は具体的に求めることはできません。
y"を計算してy'の増減を考え、y'=0となるxの値が
どのような値の範囲になるか求めましょう。

こちらの計算では求める実数解の個数は1個となりました。
No.21571 - 2013/05/29(Wed) 14:22:47
☆ Re: / 高専
解いてみましたが自信がありません。
画像の解き方であっているでしょうか？
No.21572 - 2013/05/29(Wed) 16:49:58
☆ Re: / X
間違えています。
0＜x＜π/2 (A)
として
(A)においてf"(x)＞0 (B)
となることは問題ありませんが、このときのf'(x)の
増減の考え方が誤りです。
(B)より(A)においてf'(x)は単調増加
で
f'(0)=-2＜0,f'(π/2)=2＞0
∴中間値の定理により
f(c)=0(0＜c＜π/2)
なるcが一つ存在します。
ということで増減表は以下のようになります。
x　　 |0|…|c|…|π/2
--------------------
f'(x) |+| +|+ | +|+
f"(x) |-| -|0 | +|+
f(x) |0|↓|f(c)|↑|(π/2)^2-2
(f(x)の行の↓は減少の矢印、↑は増加の矢印を示しています。
描画の関係でずれているかもしれませんがご容赦を。)
(π/2)^2-2＞0
ですのでグラフの形状は下に凸の形であり
f(d)=0(c＜d＜π/2)
なるdが一つ存在します。
((A)よりx=0は解に含まれません。)

もう一点ですが
f"(x)=0
となるxの値の計算も間違えています。
2+2sinx=0
より
sinx=-1
∴x=(2n+1)π (nは整数)
です。
nをどのように変えても
x=3π/4
とはなりません。
No.21575 - 2013/05/30(Thu) 10:18:20
☆ Re: / 高専
x　　 …|c|…
--------------------
f'(x) | +|+ | +
f"(x) | -|0 | +
f(x) |↓|f(c)|↑

xが0とπ/2のときの符号はわかったのですが、上記の増減表の部分がなぜそのような符号になるのかわかりません。
解説お願いします。
No.21576 - 2013/05/30(Thu) 11:58:03
☆ Re: / 高専
もう一度よく考えたら理解出来ました。
ありがとうございました。
No.21577 - 2013/05/30(Thu) 13:58:37