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記事No.21693に関するスレッドです

空間図形の難問 / 佐竹
以下の問題がわからなくて、困っています。
一辺が10の正四面体K内部に一辺が1の正四面体Tがある。
以下の条件のもと、K内部でTが通過出来ない部分の領域の体積を求めよ。

条件
TはK内部にあり、Tの辺の少なくとも一つがKの返上にあるようにTを動かす。

以下自分で考えた方法
以下Tの体積をtとして考えると、
考え方として頂点で重なる領域(4つ)と、エッジ部分の領域(6つ)の領域を足したものが、Tの通過出来る領域である。

頂点部分は一辺が2の正四面体ABCDをを考えれば、AB,AC,ADの中点をそれぞれLMNとすると、正四面体ALMNが辺AB,AC,AD上を動くとき、正四面体ABCDの内部で通過出来ない領域の体積はt/2だから、通過領域は8tーt/2=15t/2

またエッジ部分は、図がなくて説明しにくいですが、
Tと同じ高さで、底面がTの重心と頂点2つを通る平面で切断した断面と同じ三角柱に、T一つ分を足したもので、計算すると
この領域の体積は19t

従って通過領域の体積は、19t×6+4×15t/2=144t
kの体積は1000tだから、求める体積は1000tー144t=856t
t=√2/12だから、856×√2/12=214√2/3

だとおもうのですが、どうでしょうか?

No.21683 - 2013/06/11(Tue) 09:40:23

Re: 空間図形の難問 / X
考え方に問題はありませんが不備を二点ほど。
まず一点目。これは説明不足ということですが
>>正四面体ABCDの内部で通過出来ない領域
の形状を具体的に書いたほうがいいと思います。
もう一つは
>>エッジ部分は〜体積は19t
についてですがこの「エッジ部分」はTを19個ではなくて
13個組み合わせてできる立体となると思います。
(四面体ABCDを取り除く際に1辺の長さを1として
取り除いてしまっていませんか?)

No.21684 - 2013/06/11(Tue) 11:26:42

Re: 空間図形の難問 / 佐竹
端の領域の取り方によって、エッジの部分も変わりますね。

帰って来たので図をアップしてみます。
まずAについて、Tが移動するとき3方向考えられますが、そのときA周りの移動するときの共通領域図から一辺が2の正四面体から四面体領域GDEFを取り除いた部分です。
これが上で説明した領域部分です(体積t/2)

No.21688 - 2013/06/11(Tue) 20:05:54

Re: 空間図形の難問 / 佐竹
一つ目
No.21689 - 2013/06/11(Tue) 20:06:20

Re: 空間図形の難問 / 佐竹
二つ目
No.21690 - 2013/06/11(Tue) 20:06:40

Re: 空間図形の難問 / 佐竹
エッジ部分です
TをAP方向に動かしたとき平面PDFよりしたの部分では
底面が6,7の台形で高さがTの立体になっています。

これを分解すると
高さ6、底面は高さ=Tの高さ、底辺が√3/2の三角柱
とTをちょうど二等分した立体が端にひとつずつあるので、合わせて、T一つ分の領域になります。

したがってエッジ部分の領域を計算すると上記のように19tとなりました

No.21692 - 2013/06/11(Tue) 20:22:10

Re: 空間図形の難問 / 佐竹
画像3枚目です
No.21693 - 2013/06/11(Tue) 20:23:13

Re: 空間図形の難問 / X
ごめんなさい。エッジ部分で複数のTを組み合わせるイメージを
間違えていました。
仰るとおり、エッジ部分の体積は19tで問題ありません。

尚、くどいようですが
>>正四面体ABCDの内部で通過出来ない領域
ですが、
底面がTと同じで高さがTの半分の三角錐
という説明を入れる必要があります。
(添付された図は記述式の試験では恐らく描くのは難しいので)

No.21696 - 2013/06/11(Tue) 21:42:15