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記事No.22025に関するスレッドです
★ 約数の和が60になる自然数 / rio
高3文系です。模範解答に40〜60、1〜20で条件を満たすものはないとあっさり片付けていますがその根拠がわかりません。また35-37、25-32、21-23を同様に片付けている点も理解出来ません。何か単純な判断ポイントがあるのでしょうか。よろしくお願いします。
No.22025 - 2013/07/22(Mon) 20:17:34
☆ Re: 約数の和が60になる自然数 / angel
うーん…。これが模範解答(テストにそのまま書いて○を貰える答案例)かどうかは分からないのですが。
ただ単に、淡々と事実を挙げているだけのような気もします。
つまり、計算して確かめてみたら不適でしたというだけの話、と。
※一つ一つ計算結果を書いてたら、紙が足りないでしょうから。

ところで、問題文が明記されていないので推測になりますが、
　・Nは2と3のみの積で表される
　・Nの約数の和は60である
という条件でNを求める問題ということで良いでしょうか?

であれば、N≦20, N≧41のNが不適であることはすぐに分かります。
No.22026 - 2013/07/22(Mon) 21:07:17
☆ N≦20,N≧41の場合 / angel
では、
　・Nは2と3のみの積で表される
　・Nの約数の和は60である
という条件のもとで、
　・N≦20, N≧41は不適
を導いてみましょう。

まず、N=2^a・3^b (a,b≧0) と表すことができ、
約数の和 S は、
　S=(1+2+…+2^a)(1+3+…+3^b)
ですね。

では、N≧41の場合
　・Nが奇数だと仮定すると、N=3^b
　　N≧41 で N=3^b の形は最低でも N=81 のため不適
　・Nが偶数だとすると a≧1
　　1+2+…+2^a = 2^(a+1)-1 であるため、
　　( 1+2+…+2^a )/2^a = ( 2^(a+1)-1 )/2^a = 2-1/2^a ≧1.5
　　よって、S=(1+2+…+2^a)(1+3+…+3^b)≧2^a・1.5・3^b=1.5N≧61.5
　　であり不適

次に N≦20 の場合
　( 1+2+…+2^a )/2^a = ( 2^(a+1)-1 )/2^a = 2-1/2^a ＜2
　( 1+3+…+3^b )/3^b = ( 3^(b+1)-1 )/(2・3^b) = 1.5-1/(2・3^b)＜1.5
　よって、S=(1+2+…+2^a)(1+3+…+3^b)＜2^a・2・3^b・1.5=3N≦60
　であり、不適

と以上のように説明できます。

…え? N=59 や N=40 の時、ですか?
N=59 を分けているのは、「2,3の積では表せないけど約数の和が60」の例だから特別扱いしているのでは…?
N=40 は、計算してみればすぐに不適と分かりますが、上の説明だともう少し追加がいるので、あまり綺麗ではないかな…。

ちなみに。「解答」としてはN=59等の話 ( というか、ここで説明している話全て ) は無駄なので、やっぱり画像のは単なる解説だと思いますね。
No.22027 - 2013/07/22(Mon) 21:23:56
☆ Re: 約数の和が60になる自然数 / rio
ありがとうございました！ご丁寧な説明で理解できました。
No.22046 - 2013/07/25(Thu) 17:44:22