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記事No.22228に関するスレッドです
★ 単調増加の定義 / 黒猫缶
高3の理系です。

f(x)=x^3−3ax^2+3bx−2が区間[0,1]で常に増加するとき、点(a,b)の存在範囲を図示せよ。 (大分大学)

で、解答には、

f(x)が0≦x≦1で単調増加する条件は
0<x <1の時、f’(x)≧0


と書いてあるのですが、これって、
0<x<1の時、f’(x)>0

ではないのですか？


ここらへんの定義が曖昧でよくわからなく、結構焦ってます。

どなたか詳しく教えてください！
No.22205 - 2013/08/08(Thu) 08:02:48
☆ Re: 単調増加の定義 / 豆
たとえばf(x)=x^3に関して、
-1≦x≦1での変化はどう見ますか？
f'(0)=0ですよね。
No.22206 - 2013/08/08(Thu) 08:34:20
☆ Re: 単調増加の定義 / angel
> 0＜x＜1の時、f’(x)＞0
> ではないのですか？
f’(x)＞0 であれば、単調増加なのは確実。
問題は、 f’(x)≧0 ( 単調非減少 ) でも単調増加になるケースがあること。
もし f'(x) の形が良く分かっていなければ、「 f’(x)≧0 で単調増加 」というのは断言できません。なので、その解説はやや言葉足らずの感があります。
しかし、今回 f'(x) は2次関数です。f'(x)=0 にもしなるとしても、それは点での話です。であれば、 「 f’(x)≧0 で単調増加」は妥当になります。豆さんの挙げた例もそうですね。

ちなみに、点でなくて線の場合はダメです。
例えば、f(x)=(x-0.5)^3 - √( (x-0.5)^6 ) 　(0≦x≦1) とか。
No.22208 - 2013/08/08(Thu) 19:05:34
☆ Re: 単調増加の定義 / 黒猫缶
二度目の質問となってしまいますが、

> しかし、今回 f'(x) は2次関数です。f'(x)=0 にもしなるとしても、それは点での話です。であれば、 「 f’(x)≧0 で単調増加」は妥当になります。豆さんの挙げた例もそうですね。
>
> ちなみに、点でなくて線の場合はダメです。
> 例えば、f(x)=(x-0.5)^3 - √( (x-0.5)^6 ) 　(0≦x≦1) とか。

僕の理解力の無さのせいで、ここでいう「線」や「点」がよく分かりません。

それと、上記の式、f(x)=(x-0.5)^3 - (x-0.5)^｛6×(1/2)｝=0

となると思うのですが…
No.22211 - 2013/08/09(Fri) 00:20:38
☆ Re: 単調増加の定義 / angel
> それと、上記の式、f(x)=(x-0.5)^3 - (x-0.5)^｛6×(1/2)｝=0
> となると思うのですが…

うーん。敢えて√を使っているところはもう少し考えて欲しかったような。
例えば √(5^2)=5 ではあるけど、√((-5)^2)≠-5 なんですよね。

まあ、ただ単に
　f(x)=2(x-0.5)^3 ( 0≦x≦0.5 )
　f(x)=0 ( 0.5＜x≦1 )
と2行に分けて書くのが面倒だっただけなんですが。

点や線については、豆さんや私の例での f'(x) をグラフに描いて ( もしくは想像して )、f'(x)=0 となる所を考えてみてください。
No.22212 - 2013/08/09(Fri) 00:36:30
☆ Re: 単調増加の定義 / 黒猫缶
確かに僕は浅はかすぎました。

ルートがあったらその中身の範囲を考えるのは当たり前ですよね…


作図をしてみると、連続関数ではありますが、x=1/2で関数がきりかわり、

f'(x)>0 (0<x<1/2)
f'(x)=0 (1/2<x<1)

となって、x=1/2で微分不可となりました。


これではf'(1/2)が存在しないことになり、確かに

f(x)が0≦x≦1で単調増加 ⇔ 0<x<1でf'(x)≧0

は成り立たなかったです。


つまりこれって、

微分可能⇒連続関数 だけど、

連続関数⇒微分可能 は成り立たない

っていうことでいいのでしょうか。
No.22218 - 2013/08/09(Fri) 23:04:59
☆ Re: 単調増加の定義 / angel
> x=1/2で微分不可となりました。
いや、そんなことはないですからね。
( 不注意で不適切な例を出してしまうことはあるにしても ) 一応ちゃんと考えて例を出してますから、途中で微分不可能になるサンプルを敢えて出したりはしませんからね。
f'(0.5)=0 です。
※なお、もし f(x)=(x-0.5)-√( (x-0.5)^2 ) だったとすると x=0.5 で微分不可能になりますから、サンプルとしては不適切でした。

ある程度そこは信頼して、脱線せずに話を追って欲しいんですけど…
まあ、点と線に関しては添付の図をどうぞ。
No.22228 - 2013/08/10(Sat) 19:09:34
☆ Re: 単調増加の定義 / 黒猫缶
またまたやってしまいました…

何度もご迷惑をおかけして申し訳ないです。

恥ずかしい限りです…


やはりここの分野はもう一度きちんと復習したいと思います。

点と線については理解することができました。
それに図までつけていただいて、何から何まで本当にありがとうございました。


今後再度お世話になることがございましたら、その時にはよろしくお願いします！
No.22234 - 2013/08/11(Sun) 00:49:27