xy平面において, 曲線y=x^2をCとし, C上に点A(2,4)がある. このとき, 次の(条件)を満たす正方形の個数を求めよ.
(条件)
Aを1つの頂点とし, 残りの3の頂点のうち2つはC上にあり, 1つは領域y>x^2に含まれる.
正方形の4頂点のうちC上にあるものをP(t,t^2)(t≠2), Qとし, y>x^2の領域に含まれるものをRとする.
(?@)AP=PQのとき(正方形APQRを考える)
∠APQ=π/2より, θの回転を表す行列をR(θ)とすると,
↑PQ=R(π/2)↑PA=(t^2-4, 2-t)
∴↑OQ=(t^2+t-4, t^2-t+2)
QがC上にあるためには,
(t^2+t-4)^2=t^2-t+2
⇔(t-2)(t^3+4t^2-7)=0
⇔t^3+4t^2-7=0 (∵t≠2)
この式の左辺をf(t)とおくと, f'(t)=3t(t-8/3)
f(0)=-7, f(8/3)=-445/27
よってf(t)=0はt>8/3でただ1つの実数解を持つ.
(?A)PQ=√2APのとき(正方形APRQを考える)
↑AQ=R(π/2)↑AP=(4-t^2, t-2)より,
↑OQ=(6-t^2, t+2)
QがC上にあるためには,
t+2=(6-t^2)^2
⇔t^4-12t^2-t+34=0
⇔(t-2)(t^3+2t^2-8t-17)=0
⇔t^3+2t^2-8t-17=0 (∵t≠2)
この式の左辺をg(t)とおくと,
g'(t)=3t^2+4t-8=…
ここで計算がめんどくさくなると思って中断しました.
(?@)も, f(t)=0の解がRがy>x^2の領域にあるという条件を考えなくてはならないですし, (?A)はg'(t)=0の解がきれいな形にならないのでg(t)=0の解の個数を数えるのが大変そうです.
違うやり方があったら教えてください.
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No.22235 - 2013/08/11(Sun) 03:29:57
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