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記事No.22237に関するスレッドです

(No Subject) / ktdg
xy平面において, 曲線y=x^2をCとし, C上に点A(2,4)がある. このとき, 次の(条件)を満たす正方形の個数を求めよ.
(条件)
Aを1つの頂点とし, 残りの3の頂点のうち2つはC上にあり, 1つは領域y>x^2に含まれる.

正方形の4頂点のうちC上にあるものをP(t,t^2)(t≠2), Qとし, y>x^2の領域に含まれるものをRとする.
(?@)AP=PQのとき(正方形APQRを考える)
∠APQ=π/2より, θの回転を表す行列をR(θ)とすると,
↑PQ=R(π/2)↑PA=(t^2-4, 2-t)
∴↑OQ=(t^2+t-4, t^2-t+2)
QがC上にあるためには,
(t^2+t-4)^2=t^2-t+2
⇔(t-2)(t^3+4t^2-7)=0
⇔t^3+4t^2-7=0 (∵t≠2)
この式の左辺をf(t)とおくと, f'(t)=3t(t-8/3)
f(0)=-7, f(8/3)=-445/27
よってf(t)=0はt>8/3でただ1つの実数解を持つ.
(?A)PQ=√2APのとき(正方形APRQを考える)
↑AQ=R(π/2)↑AP=(4-t^2, t-2)より,
↑OQ=(6-t^2, t+2)
QがC上にあるためには,
t+2=(6-t^2)^2
⇔t^4-12t^2-t+34=0
⇔(t-2)(t^3+2t^2-8t-17)=0
⇔t^3+2t^2-8t-17=0 (∵t≠2)
この式の左辺をg(t)とおくと,
g'(t)=3t^2+4t-8=…


ここで計算がめんどくさくなると思って中断しました.
(?@)も, f(t)=0の解がRがy>x^2の領域にあるという条件を考えなくてはならないですし, (?A)はg'(t)=0の解がきれいな形にならないのでg(t)=0の解の個数を数えるのが大変そうです.
違うやり方があったら教えてください.

No.22235 - 2013/08/11(Sun) 03:29:57

Re: / angel
(i) について楽さで考えるなら、文字 t を使って (t,t^2) と表す点は、「正方形においてAの対角上にある点」とするのが良いと思います。
…ただ、どちらにしても2通りの3次方程式の解の個数を数えることになるのは違いないので、ktdgさんの考えとはそう変わらないでしょうか。

なぜ2通りかと言えば、正方形の中心から見て、Aのどちらの隣接頂点 ( 時計 or 反時計周り ) が曲線C上に来るか、場合分けする必要があるからです。
…地味に「1つは領域y>x^2に含まれる」という条件が面倒です。が、ここは t>2, t<2 で場合わけしていくのが良いでしょう。C 上に来るのは、Aの隣接頂点の内、下側 ( y座標が小さい方 ) であるからです。
なお、各頂点を求める時は90°回転と考えずとも、例えば正方形 AXYZ と頂点を名付けた場合
 | A,Yのx座標の差 | = | X,Zのy座標の差 |
 | A,Yのy座標の差 | = | X,Zのx座標の差 |
 ( AYの中点 ) = ( XZの中点 )
という所から考えると多分楽です。
差の部分はこのままだと4通りですが、大小関係を考えて1通りに絞りましょう。( 単に正方形を作るだけなら2通り )

なお、実際に正方形を作ってみると、添付の図の通りになります。ただし、点線でできた正方形2個については、「1つは領域y>x^2に含まれる」を満たさず不適です。
青・赤の色分けは、「Aから見てどちら側の隣接頂点がC上にあるか」で場合分けしたものです。

--
追記: (i)か(ii)か、どっちの話かちょっと混乱してました。最終的に(i)に直してます。( これで合ってるはず )

No.22237 - 2013/08/11(Sun) 10:04:57

Re: / angel
一応、私の計算した内容を抜粋して載せます。

途中で現れる2個の3次式は、上で挙げた図の3次関数のグラフ ( 最初は青、次は赤 ) に相当するものです。

--
正方形におけるAの対角の頂点を(t,t^2)と置く
t>2 の場合、Aの右隣り ( 正方形の中心から見て反時計周りの方 ) の頂点が
C上に来る。この座標は ( (t^2+t-2)/2, (t^2-t+6)/2 )
tの満たす条件は (t-2)(t^3+4t^2+3t+4)=0 → t>2における解なし

t<2 の場合、Aの左隣りの頂点がC上に来る。
この座標は ( -(t^2-t-6)/2, (t^2+t+2)/2 )
tの満たす条件は (t-2)(t^3-13t-16)=0 → t<2において2個解あり

No.22238 - 2013/08/11(Sun) 10:17:45

Re: / angel
(ii)についても正方形を作ってグラフ上に描いてみました。( 緑色 )
こちらに関しては、t>2 という条件だけ設定しておけば、余り悩むことはないと思います。「1つは領域y>x^2に含まれる」という条件も自動的に満たされます。
正方形APRQに関して、P,QがC上にあり、曲線Cは下に凸ですからAはPQに関して下側に来ます。ということは逆にRはPQに関して上です。
ここまではy座標の話ですが、x座標で考えるとAもRもP,Qの間に来ています。なので、Rは確実にy>x^2の領域に来るのです。

No.22239 - 2013/08/11(Sun) 10:48:13

Re: / ktdg
わかりやすい回答ありがとうございます.
No.22252 - 2013/08/13(Tue) 00:11:01