[ 掲示板に戻る ]
記事No.22596に関するスレッドです
★ 半円で定義した三角比について　【数?T】 / アクオス
こんばんは。

自分の使っている参考書の「半円で定義した三角比」の所で

例えば135°の三角比の値を求めたい場合
半円の中に45°の直角三角形を入れて、そこから求めているのですが

半円で定義した三角比は、直角三角形とは関係ないのに
なぜ45°の直角三角形を使って、半円で定義した三角比の45°の値を求めているのだろうか、と疑問に思いました。

色々と調べてみて、ある程度の理解はできたのですが
あまり自信が持てないので確認させてください。

これは
まず「45°の直角三角形」が丁度収まる大きさである半径√2の半円を書いて
この半円に「45°の直角三角形の一番高い部分」が触れるように組み込むと
半円に触れる部分が、ちょうど「45°の三角比の値」を求めるために必要な「x座標」と「y座標」になる。
このように直角三角形を利用することで必要な座標を求めることが出来るので、
「半円で定義した三角比」であっても直角三角形を利用する。　

ということなのでしょうか。


そして45°のx座標とy座標がわかることで、
半円の中で45°の逆側の座標がちょうど135°の座標になるので
45°の座標をもとに135°の座標を求めることになる。


という考え方で合っているでしょうか。
よろしくお願いします。
No.22593 - 2013/09/26(Thu) 19:54:37
☆ Re: 半円で定義した三角比について　【数?T】 / ヨッシー
まずは、「半円で定義した三角比」そのものを十分理解しないといけません。
最終的には、こちらの
↓この図のように

半円（０度以上180度以下の角）だけでなく、それ以上の角や
マイナスの角についても三角比を定義することになります。
今は初歩なので、半円にとどめているものと思われます。

ここで重要なのは、半径が１であることと、ｘ軸から反時計回りに
角度θを決めること。そして、その角度θに相当する円周上の点の
ｘ座標がcosθ、ｙ座標がsinθ であるということです。
（半径＝１ は必須ではありませんが、１以外の場合は、ｘ座標を
半径で割ったものがcosθとなります。sinθも同様)


この問題では、135°に当たる点のｘ座標ａと、ｙ座標ｂを
求めることが必要ですが、その値を知るために、

このように直角二等辺三角形をあてがったものと思われます。
半径（＝斜辺)が１なら、ａ＝−√2/2、ｂ＝√2/2
半径√2 なら、ａ＝−１, ｂ＝１
半径２なら、ａ＝−√2, ｂ＝√2
となり、半径で割るといずれも、cosθ＝−√2/2, sinθ＝√2/2
となります。

****
>という考え方で合っているでしょうか。
については、どこにどういう半円を描いたのか等、読み取れませんでしたので、
何とも言えません。
上のようなことを理解されていて、その結果の考え方なら
正しいと思います。
No.22594 - 2013/09/26(Thu) 20:32:47
☆ Re: 半円で定義した三角比について　【数?T】 / アクオス
ヨッシーさん回答ありがとうございます。
ヨッシーさんの書かれている事と自分の考えていることが同じことなのか自信が持てなかったので
自分の考えている図を描きました。
よろしくお願いします。
No.22596 - 2013/09/26(Thu) 21:28:15
☆ Re: 半円で定義した三角比について　【数?T】 / ヨッシー
図の描き方は良いように思いますが、肝心なことは、この図から、
sin135°, cos135° がちゃんと求められるか？
ということです。
それは、大丈夫ですか？

sin120°, cos120° なんかはどうですか？
これも、ちゃんと半円から求められますか？
No.22597 - 2013/09/26(Thu) 21:40:46
☆ Re: 半円で定義した三角比について　【数?T】 / アクオス
sin 135°は y座標/ 半径 なので　1/√2
cos 135°は　x座標/ 半径　なので　- 1　/　√2　　　

になると思います。

sin120°を求める場合は
今度は
半径2の半円を書いて　60°の角が中央にくるように直角三角形を置けば(1,√3)の座標の所で半円と接するので
その逆の位置である(-1,√3)が120°の座標になり
そこからsin120°= √3/2　
cos120°= -1/2
が求められると思います。 　
No.22598 - 2013/09/26(Thu) 21:56:08
☆ Re: 半円で定義した三角比について　【数?T】 / ヨッシー
そうですね。

それが出来れば、どんな半径の円を描こうとも、どこに
直角三角形を置こうとも、あるいは置かなくても、三角比を
求めることが出来ます。
No.22599 - 2013/09/26(Thu) 23:09:07
☆ Re: 半円で定義した三角比について　【数?T】 / アクオス
ヨッシーさんありがとうございました。
理解することができました。
No.22600 - 2013/09/27(Fri) 06:53:39