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記事No.2265に関するスレッドです
★ 通過領域図示問題 / Jez-z
半径rの円Oのまわりに一辺の長さa の正三角形ABC を円O と同一平面内で次の二条件を満たしながら
可能な限り移動させる．
(?@) △ABC は円O の内部と共有点を持たず，円O の周とただ一点を共有する．
(?A) ベクトル↑ AB，↑ BC，↑ CA はそれぞれ一定に保たれる．
このとき，△ABC の通過し得る範囲を図示して，その面積S を求めよ．


円を描いて条件を満たすように三角形を動かしてみましたが、上下の部分の移動の様子は分かるのですが、三角形が左右の部分（コーナーを曲がるあたりから）の移動の様子が掴めません。問題はさらに図示した上で面積まで求めることを要求していますが、私はまず面積以前に条件を満たす領域を図示できません（＞＜）
本問の考え方・見方など根本的なところからご指導いただけないでしょうか？よろしくお願いします。
No.2257 - 2008/08/23(Sat) 18:31:32
☆ Re: 通過領域図示問題 / rtz
これはまた非常に説明しにくい問題ですね。

添付の図を見てもらえば分かるかもしれませんが、
辺で接しているときは平行移動です。

ここは問題ないと思いますが、問題は頂点が接しているときです。
接している頂点自体は120°分動くわけですが、
領域の外周は図示したとおり、
60°分円周と平行に動いた後、正三角形の1辺分の長さをもって、
さらに60°分円周と平行に動きます。

60°分円周と平行に動いた部分の面積は、
円周部の長さ×正三角形の1辺です。
これ以外の残った部分は全て正三角形です。

つまり、求める面積は、
正三角形6つ分と、円周の長さに正三角形の1辺をかけたものの和です。


ちなみに、
確か開成中学の入試問題で、正方形を同様に動かす問題があったはずです。
やり方は同じですが、正方形なので√とかが出てこなくて済むわけですね。
No.2265 - 2008/08/24(Sun) 00:10:34
☆ Re: 通過領域図示問題 / Jez-z
rtzさん、ありがとうございます。なんとか理解できました
このような問題は非常に考えさせられますよね。


開成で出題歴があるのですか。実はこれは東大の問題らしく（20年くらい前）それを意識して（開成側は）作成したのでしょうかね？
No.2305 - 2008/08/25(Mon) 00:00:06